Calculo 2

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Segundo semestre 2012 - lza

MAT-220E * Guía 2 La integral definida

1. Mediante la definición de laintegral, calcule a) ( ÐB#  "Ñ .B
, +

b)

B ( / .B , +

R. a)

" $ Ð,  +$ Ñ  Ð,  +Ñ b) /,  /+ $

2. Demuestre ocupando la definición de integral, que a) ( B: .B œ +:" ( B: .B
+ " ! !b)

( 0 ÐBÑ .B œ (
, + +

,-

0 ÐB  -Ñ .B
+-

c)

" B # ( B 0 Ð Ñ .B œ + ( B 0 ÐBÑ .B + ! !

3. Demuestre que si 0 es integrable en [+,, ], entonces ,+ 8 ,+ "0 Ð+  lim 5Ñ .B ( 0aBb .B œ 8Ä_ 8 5œ" 8 +
,

4. Demostrar a) "Þ"& Ÿ (
$ "

b)

#1 È"! 1 " Ÿ( .B Ÿ 1 # & ! È"$  $ -9=B

È&  %B  B# "
%

.B Ÿ "Þ#&

5. Ocupando la definición de la integral, calcule a)lim

" È Ð 8  "  È8  #  † † † †  È8  8 Ñ 8Ä_ 8È8

b)

8Ä_

lim

" 1 #1 81 Ð"  =/- #  =/- #  † † † †  =/- # Ñ 8 %8 %8 %8 " 8 8 "Ê 8 3œ" 8  $3 b) % 1 c) # $

c)

8Ä_

limR. a)

# È Ð# #  "Ñ $

6. Si :   #ß : − ™Þ Demuestre que
8Ä_ ,

lim Ð

" " "   † † † †  Ñ œ 691 : 8" 8# :8 " Ð,:"  +:" Ñß : Á " calcule el área limitada por las :"

7. Ocupando (B: .B œ
+

curvas i) C œ BÐ"  BÑß C œ ! ii) B# œ #C  #ß %B  #C  ( œ ! R. i) " ' ii) 18

8. Dada una función continua 0 , estrictamente creciente y tal que 0 a!b œ ! . Si 1 es la funcióninversa de 0 , muestre gráficamente que para todo +,, positivos se tiene ( 0 aBb .B  ( 1aBb .B   +,
+ , ! !

9. Aplicando el teorema del valor medio a) Acote las siguientes integrales: ( b) Calcule lossiguientes límites: R. a)
& "

"! Ÿ M Ÿ # à "  M  È# "$

#8 È " #8 =/8 B B" .Bß lim ( .B ( #" 8Ä_ #8 8 B  " 8Ä_ 8 B

B .Bß #" B

( ÈB%  " .B
" !

lim

b) Ambos límites son 0.10. Utilizando el significado geométrico de la integral definida, calcule diréctamente del gráfico las siguientes integrales a) (
%1

=/8
!

B .B #

b) ( È%  B# .B
# !

c) ( Ð"  #BÑ .B...