Calculo 3






Tarea Nº 1:
“Valores extremos de funciones de dos variables”



Asignatura: Calculo III

Fecha: 01/10/2012

Tema: Valores extremosde función en dos variables
DEFINICION: Una función de dos variables tiene una máximo relativo en (a,b) si f(x,y) f(a,b) cuando (x,y) está cerca de (a,b). Esto quiere decir que f(x, y) f(a,b) paratodos los puntos (x,y) en algún disco con centro (a,b). El numero f(a,b) recibe el nombre de valor máximo relativo.

TEOREMA: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo en (a,b) y las derivadasparciales de primer orden existen allí, entonces fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0

NOTA: A diferencia de las derivadas de una variable que los valores extremos, se ocupan para hallar puntos máximo y mínimo enun plano cartesiano (x,y). En las derivadas parciales estos máximos y mínimos son de una superficie en un espacio respecto a un plano cartesiano (x,y,z).









Ejercicio nº 1:
Calculelos valores extremos de f(x,y) = x2 + y2 - 2x - 6y + 14
Desarrollo: Primer paso es derivar parcialmente respecto a x e y.
fx(x,y) = 2x – 2 fy(x,y) = 2y – 6
Tenemos nuestras derivadasparciales de (x,y), ahora se procede con el mismo método que usábamos en calculo de una variable, que es igualar a 0 y posteriormente encontrar los puntos críticos.
fx(x,y) = 2x – 2 = 0 2(x - 1) =0
fy(x,y) = 2y – 6 = 0 2(y – 3) = 0
Punto críticos x = 1 y = 3
Teniendo nuestros puntos críticos, como debemos graficar para saber visualmente que estamos haciendo,la función:
f(x,y) = x2 + y2 - 2x - 6y + 14
Vemos que tiene una forma de cuadrado de binomio por lo tanto agrupemos para identificar mejor.
f(x,y) = x2 - 2x + 1 + y2 – 6y + 9 + 4
El número 4salió por qué de la función original para transformarlos en cuadrado tuvimos que dejarlo aparte. Como se estructuro finalmente.
f(x,y) = ( x – 1 )2 + ( y – 3 )2 + 4 PARABOLOIDE ELIPTICO...