CALCULO 3

INTEGRALES DOBLES
Docente: Francisco Arias Dominguez
Consideremos una función f de dos variables de…nida en el rectángulo cerrado
R = [a; b]
tal que f (x; y)
f , esto es

[c; d] = f(x; y) 2 R2 : a

x

b, c

y

dg:

0 en R. La grá…ca de f es la super…cie z = f (x; y). Sea S el sólido acotado por R y la grá…ca de
S = f(x; y; z) 2 R3 : 0

z

f (x; y), (x; y) 2 Rg

Figure 0:1:
Dividamos el rectánguloR en subrectángulos de la forma
[yj 1 ; yj ] = f(x; y) 2 R2 : xi

Rij = [xi 1 ; xi ]

donde i = 1; 2; :::; m, j = 1; 2; :::; n, 4x =
siguiente …gura

b a
m

y 4y =

d c
:
n

1

x

xi , yj

Por lo tanto, una aproximación para el volumen total de S es:
V t

f (xij ; yij )4A

i=1 j=1

(ver …gura 0:3)

Figure 0:3.

1

y

yj g

El área del Rij rectángulo es 4A = 4x4y, ver la

Figure 0:2. División de Ren subrectángulos

m X
n
X

1

En consecuencia,
V = lim

m;n!1

m X
n
X

f (xij ; yij )4A

i=1 j=1

de…ne el volumen del sólido acotado por la grá…ca de f y el rectángulo R:
De…nición: La integral doble de f sobre el rectángulo R es
ZZ
m X
n
X
f (x; y)dA = lim
f (xij ; yij )4A
m;n!1

R

si este límite existe, o

ZZ

f (x; y)dA = lim

m;n!1

R

De…nición: Si f (x; y)
z = f (x; y) es

i=1 j=1

mX
n
X

f (xi ; yj )4A

i=1 j=1

0, entonces el volumen V del sólido acotado por el rectángulo R y la super…cie
V =

ZZ

f (x; y)dA:

R

EJEMPLO 1: Estime el volumen del sólido acotados por el cuadrado R = [0; 2] [0; 2] y la parabolide elíptica
z = 16 x2 2y 2 . Tomando una división del rectángulo R como la indica la …gura 0:4.

Figure 0:4:
Solución: En este caso m = n = 2, luego una aproximaciónpara el volumen es
V

t

m X
n
X

f (xij ; yij )4A

i=1 j=1

= f (1; 1)4A + f (1; 2)4A + f (2; 1)4A + f (2; 2)4A
= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1)
= 34:
Esta es el volumen de la aproximación dada por la …gura 0:4. Ilustración de lo anterior

2

Una mejor aproximación la logramos tomando m y n más grandes, por ejemplo

PROPIEDADES
DE INTEGRALES
DOBLE
ZZ
ZZ
ZZ
1)
[f (x; y) + g(x; y)] dA =
f (x; y)dA +g(x; y)dA
2)

R
ZZ

cf (x; y)dA = c

R

3) Si f (x; y)

ZZ

R

R

f (x; y)dA donde c es una constante.

R

g(x; y) para todo (x; y) 2 R, entonces
ZZ

ZZ

f (x; y)dA

R

g(x; y)dA:

R

INTEGRALES ITERADAS
Consideremos el siguiente sólido

Figura ( )
donde f (x; y) es positiva, para todo (x; y) 2 R = [a; b] [c; d]. Entonces podemos interpretar la integral doble
ZZ
f (x; y)dA como el volumen V delsolido S acotado por R y la super…cie z = f (x; y) por
R

V =

Zb

A(x)dx

a

donde A(x) es el área de la sección transversal vertical de S perpendicular al ele x (Figura ( )). Esto es

A(x) =

Zd

f (x; y) dy

c

3

y por lo tanto,
ZZ

f (x; y)dA = V =

Zb

A(x)dx =

a

R

Zb
a

Un argumento similar, si consideramos el sólido

0
@

Zd
c

1

f (x; y) dy A dx:

Figura ( )
ZZ

f (x; y)dA = V =

ZdA(y)dy =

c

R

Zd
c

0
@

Zb
a

1

f (x; y) dxA dy:

TEOREMA: (Teorema de Fubini)
Si f es continua en un rectángulo R = f(x; y) : a x b, c y dg, entonces
3
3
2
2
ZZ
Zb Zd
Zd Zb
f (x; y)dA = 4 f (x; y) dy 5 dx = 4 f (x; y) dx5 dy:
a

R

c

c

a

TEOREMA: Si f (x; y) = g(x)h(y), entonces
ZZ
R

donde R = [a; b]

[c; d]:

EJEMPLO: Si R = [0; 2 ]

0 b
10 d
1
Z
Z
g(x)h(y)dA = @ g (x) dxA @ h (y) dy A ;
ac

[0; 2 ] entonces
ZZ
R

0

1 0 =2
1
Z=2
Z
sin x cos ydA = @ sin xdxA @ cos ydy A
0

0

=2
=2
= ( cos x)jx=
(sin y)jy=
x=0
y=0

= 1 1 = 1:
INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MÁS GENERALES
Sean D una región como la …gura 1, y f una función continua en . Nuestro objetivo es de…nir
ZZ

D

f (x; y)dA
4

Para esto, rodeamos D mediante un rectángulo R, como en la …gura 2:

y de…nimos una nueva función Fcon dominio R por
8
< f (x; y), si (x; y) 2 D
F (x; y) =
:
0,
si (x; y) 2 R r D:

(1)

La integral doble de F existe sobre R, entonces de…nimos la integral doble de f sobre D por
ZZ
ZZ
F (x; y)dA:
(2)
f (x; y)dA =
R

D

El volumen generado por las grá…cas de las funciones f y F en D y R respectivamente, son iguales como lo indica
el siguiente grá…co

Para calcular la integral

ZZ

f (x; y)dA...