Calculo absoluto

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica. Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6.2 del libroPrecálculo Una Nueva Visión, G.Mora – M.M.Rey – B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión y hacer los ejercicios de la sección 6.1 Ejemplo Adicional 1 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos –6 y 4 Al observar la recta numérica se tiene que los puntos –6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos ( −∞ , −6 ) , [ −6, 4] y( 4, ∞ )
( −∞ , −6 )
-12 -10 -8 -6 -4 -2

[ −6 , 4 ]
0 2 4 6

( 4,∞ )
8 10 12

∀ x ∈ ( −∞ , −6 ) se tiene:

∀ x ∈ [ −6, 4 ] se tiene:
a.

∀ x ∈ ( 4, ∞ ) se tiene:

La distancia de cualquier punto x al punto –6 es menor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así: x − ( −6 ) < x − 4 ⇔
x+6 < x−4

El punto medio entre –6 y 4 es –1, por lo tantoal ubicar el punto x en –1 la distancia entre –6 y x es igual que la distancia entre x y 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como: x − ( −6 ) = x − 4 ⇔
x+6 = x−4

La distancia de cualquier punto x al punto –6 es mayor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así: x − ( −6 ) > x − 4 ⇔
x+6 > x−4

b.

Si x está más cerca de –6 que de4, se tiene:
x − ( −6 ) < x − 4 ⇔
x+6 < x−4

c.

Si x está más lejos de –6 que de 4, se tiene:
x − ( −6 ) > x − 4 ⇔
x+6 > x−4

Ejemplo adicional 2 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos 3 y – 5. Observando la recta numérica se tiene:

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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

(−∞; −5 )
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

(−5; 3 )-1 0 1 2 3 4

(3; ∞ )
5 6

El punto medio entre (−5; 3 ) es el La distancia de cualquier x ∈ (−∞ ; −5 ) al punto – 5 es menor que la distancia al punto 3. Este hecho se puede expresar en términos de valor absoluto así: punto – 1 y la distancia de este punto a – 5 y a 3 es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como:

−1 − ( −5 ) = −1 − 3

−5 − x < x − 3
x − (− 5 )< x − 3

ó

Los x ∈ (−5; −1) están más cerca de –5 que de 3, lo qué en términos de valor absoluto puede escribirse: x − (− 5 ) < x − 3 Los x ∈ (−1; 3 ) están más cerca de 3 que de –5, lo qué en términos de valor absoluto es. x − (− 5 ) > x − 3

La distancia de cualquier x ∈ (3; ∞ ) al punto – 5 es mayor que la distancia al punto 3, lo que escrito en término de valor absoluto es: x − (− 5 )> x − 3

expresiones que son equivalentes

EJERCICIOS
1. Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:

a. d. g.

8−3
−2

b. e. h.

4+5
x−3

c. f. i.

6
x−3 x+5

1− x

7,5 − x

2. Expresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica : a. Que se encuentran a 2 unidades del b. Que se encuentran a menos de 3 origen unidades de 5 c. Que seencuentran a menos de 4 d. Que se encuentran a más de 3 unidades unidades de –2 de 5 e. Que se encuentran a más de 2 unidades f. Cuya doble distancia a 2 es mayor que 3 de –1 3. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. La distancia entre dos números x e y es igual a 3 b. El doble de la distancia que hay entre un número x y el punto –2 es igual a 5 4. Cual es el mínimovalor que puede tomar la expresión:

a.

x−2

b.

x+3

5. Diga si es falso o verdadero −5 − ( −3 ) = −3 − ( −5 ) a.

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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA Documento Preliminar

b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n.

10 + ( −14 ) = 10 + −14 −3 + 8 ≤ −3 + 8

( 2 x − 1) − 3
x =0 x = y

=2 x −2

3 −π = π −3

es equivalente a decir que significa que y
x 4 8....