Calculo aplicado ejercicios

PRIMERA PARTE
Desigualdades e inecuaciones – ContinuidadFunciones circulares – G. Analítica – Derivadas y
Aplicaciones.

Prof. JORGE INOSTROZA LAGOS
Prof. CLAUDIO LABBÉ D.

2010

1

INDICE
1.-FUNCIÓN REAL.
Ejercicios Resueltos;Desigualdades e inecuaciones:
Guía # 1. Ejercicios Propuestos

02
16

2.-FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejercicios Resueltos.
Guía # 2. EjerciciosPropuestos

17
22

3.-LIMITE Y CONTINUIDAD.
Ejercicios Resueltos
Guía # 3. Ejercicios Propuestos

26
35

4.-FUNCIONES CIRCULARES
Ejercicios Resueltos de Trigonometría
Guía # 4.Ejercicios Propuestos

40
48

5.-GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Ejercicios Resueltos.
Guía # 5.Ejercicios Propuestos

49
57

6.-LA DERIVADA.
Ejercicios Resueltos
Guía # 6.Ejercicios Propuestos

58
707.-APLICACIONES DE LA DERIVADA.
Ejercicios Resueltos
Guía # 7. Ejercicios Propuestos

58
87

8.- TEOREMA DE L’HOPITAL
Ejercicios Resueltos
Guía # 8. Ejercicios Propuestos

92
97

2

CALCULO APLICADO
1.- FUNCIÓN REAL
Ejercicios Resueltos: Desigualdades, Inecuaciones, Supremo
Acabado el estudio que caracteriza los reales como un cuerpo ordenado y completo, se
entender los siguientesejercicios resueltos.

puede

1) Pruebe las siguientes desigualdades:
a)

ab
+
+
≥ 2 , ∀ a, b ∈ ℝ
ba

b)

a+b
≥
2

ab ≥

2ab
, ∀ a , b ∈ ℝ+
a+b

OBS.: M.A. ≥ M.G. ≥ M.H.
c) a3b + ab3 ≤ a4 + b4 , ∀ a, b ∈ ℝ
d) a4 + b4 ≥ 2a2b2
a+b ≤

e)

∀ a , b ∈ ℝ+

a+ b,

Solución:
a) Como x2 ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ, y x + 1 ≥ 2
x

si x = a , se tiene 1 = b , y por lo tanto
b

x

b)i)
ii)

a

P/D: a + b – 2 ab ≥ 0
P/D:

a+b
≥
2ab

1

c) a4 + b4 – a3b – ab3 > 0

⇔

x

x

ab
+
≥ 2 //
ba

⇔

⇔

ab

(puesto que x + 1 – 2 = ( x − 1 )2 ≥ 0), entonces

( a–

b )2 ≥ 0

a + b ≥ 2 ab

⇔

a3(a –b) – b3(a – b) ≥ 0

a+b ≥
2

⇔

a+b ≥
2

⇔

ab .

ab , ya probado.

(a3 – b3)(a – b) ≥ 0

⇔

(a2 + ab + b2)(a – b)2 ≥ 0, y comocada factor es mayor o igual a cero, queda probado.
d) a4 + b4 ≥ 2a2b2

⇔

a4 + b4 – 2a2b2

e) Primero notemos que x2 ≥ y2
x2 – y2 = (x – y)(x + y) ≥ 0

⇔

(a2 – b2)2 ≥ 0//

⇔

x ≥ y ∀ x, y ∈ ℝ+, pues

⇒

x – y ≥ 0 ya que x + y ≥ 0.

Luego, como (a + b) ≤ (a + b) + 2 ab = ( a + b )2, entonces

a+b ≤

a+ b

//

3

2) Probar las siguientes desigualdades:
a) (a + b)(b +c)(a + c) ≥ 8abc ∀ a, b, c ∈ ℝ+
b) (ab + bc)(ac + bc)(ab + ac) ≥ 8a2b2c2 ∀ a, b, c ∈ ℝ+
c) (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 ≥ 4(ab + bc + ac) ∀ a, b, c ∈ ℝ+
Solución:
a) Como

a + b ≥ 2 ab
(∗)

b + c ≥ 2 bc
a + c ≥ 2 ac
(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8

ab

bc

ac = 8abc//

b) Multiplicando (∗) por c, a, b, respectivamente, tenemos
ac + bc ≥ 2c ab
ba + ca ≥ 2a bc
ab + cb ≥ 2b acMultiplicando miembro a miembro:
(ac + bc)(ba + ca)(ab + cb) ≥ 8abc ab bc ac = 8abc·abc
≥ 8a2b2c2//
c) Ya que todo número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero:
(a – b)2 ≥ 0
entonces

a2 –2ab + b2 ≥ 0
a2 + b2 ≥ 2ab

/+(2ab)

a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab
(a + b)2 ≥ 4ab (1)
Del mismo modo:

(b + c)2 ≥ 4bc (2)
(a + c)2 ≥ 4ac (3)

Sumando (1) + (2) + (3):

(a + b)2 + (b + c)2 + (a+ c)2 ≥ 4(ab + bc + ac)//

4

3) Probar que
a) a + b + c = 6

⇒

a2 + b2 + c2 ≥ 12

b) a + b + c = 1

⇒

(1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc

c) a + b = 1
d) a2 + b2 = 4

⇒

4ab ≤ 1
⇒

a4 + 1 + b4 + 1 > 16
4
4
a

∀ a , b ∈ ℝ+

b

Solución:
a) De a + b + c = 6 tenemos (a + b + c)2 = 62
⇒

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 36 (∗)

Por otra parte, en la solución 2c)anterior se demostró que
a2 + b2 ≥ 2ab
Del mismo modo:

b2 + c2 ≥ 2bc

sumando ⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ac
⇒ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ac) (∗∗)

c2 + a2 ≥ 2ac
Finalmente, reemplazando (∗∗) en (∗):

a2 + b2 + c2 + 2(a2 + b2 + c2) ≥ 36
3(a2 + b2 + c2) ≥ 36
⇒

/:3

a2 + b2 + c2 ≥ 12//

b) De a + b + c = 1 se tiene
1–a = b+c
1–b = a+c

⇒ (b +c)(a + c)(a + b) = a2b...