Calculo aplicado usach

PRIMERA PARTE Desigualdades e inecuaciones – ContinuidadFunciones circulares – G. Analítica – Derivadas y Aplicaciones.

2010

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INDICE
1.-FUNCIÓN REAL. Ejercicios Resueltos;Desigualdades e inecuaciones: Guía # 1. Ejercicios Propuestos 2.-FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ejercicios Resueltos. Guía # 2. Ejercicios Propuestos 3.-LIMITE Y CONTINUIDAD. Ejercicios Resueltos Guía # 3. EjerciciosPropuestos 4.-FUNCIONES CIRCULARES Ejercicios Resueltos de Trigonometría Guía # 4.Ejercicios Propuestos 5.-GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ejercicios Resueltos. Guía # 5.Ejercicios Propuestos 6.-LA DERIVADA. Ejercicios Resueltos Guía # 6.Ejercicios Propuestos 7.-APLICACIONES DE LA DERIVADA. Ejercicios Resueltos Guía # 7. Ejercicios Propuestos 8.- TEOREMA DE L’HOPITAL Ejercicios Resueltos Guía # 8. EjerciciosPropuestos 92 97 58 87 58 70 49 57 40 48 26 35 17 22 02 16

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CALCULO APLICADO
1.- FUNCIÓN REAL Ejercicios Resueltos: Desigualdades, Inecuaciones, Supremo
Acabado el estudio que caracteriza los reales como un cuerpo ordenado y completo, se entender los siguientes ejercicios resueltos. 1) Pruebe las siguientes desigualdades: a) b)
a b + + ≥ 2 , ∀ a, b ∈ ℝ b a

puede

a+b ≥ 2

ab ≥2ab , ∀ a, b ∈ ℝ+ a+b

OBS.: M.A. ≥ M.G. ≥ M.H. c) a3b + ab3 ≤ a4 + b4 , ∀ a, b ∈ ℝ d) a4 + b4 ≥ 2a2b2 e)
a+b ≤ a+ b,

∀ a, b ∈ ℝ+

Solución: a) Como x2 ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ, y x + 1 ≥ 2
x

(puesto que x + 1 – 2 = ( x − 1 )2 ≥ 0), entonces
x

x

si x = a , se tiene 1 = b , y por lo tanto
b

x

a

a b + ≥ 2 // b a

b) i) ii)

P/D: a + b – 2 ab ≥ 0 P/D:
a+b ≥ 2ab

⇔

( a –

b)2 ≥ 0

⇔

a+b ≥ 2

ab .

1 ab

⇔ ⇔

a + b ≥ 2 ab

⇔

a+b ≥ 2

ab , ya probado.

c) a4 + b4 – a3b – ab3 > 0

a3(a –b) – b3(a – b) ≥ 0

⇔

(a3 – b3)(a – b) ≥ 0

⇔

(a2 + ab + b2)(a – b)2 ≥ 0, y como cada factor es mayor o igual a cero, queda probado. d) a4 + b4 ≥ 2a2b2 ⇔ a4 + b4 – 2a2b2 ⇔ (a2 – b2)2 ≥ 0//

e) Primero notemos que x2 ≥ y2 x2 – y2 = (x – y)(x + y) ≥ 0⇔ ⇒

x ≥ y ∀ x, y ∈ ℝ+, pues x – y ≥ 0 ya que x + y ≥ 0.
a+b ≤ a+ b
//

Luego, como (a + b) ≤ (a + b) + 2 ab = ( a + b )2, entonces

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2) Probar las siguientes desigualdades: a) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc ∀ a, b, c ∈ ℝ+ b) (ab + bc)(ac + bc)(ab + ac) ≥ 8a2b2c2 ∀ a, b, c ∈ ℝ+ c) (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 ≥ 4(ab + bc + ac) ∀ a, b, c ∈ ℝ+ Solución: a) Como a + b ≥ 2 ab b + c ≥ 2bc a + c ≥ 2 ac (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8
ab bc ac = 8abc//

(∗)

b) Multiplicando (∗) por c, a, b, respectivamente, tenemos ac + bc ≥ 2c ab ba + ca ≥ 2a bc ab + cb ≥ 2b ac Multiplicando miembro a miembro: (ac + bc)(ba + ca)(ab + cb) ≥ 8abc ab bc ac = 8abc·abc ≥ 8a2b2c2// c) Ya que todo número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero: (a – b)2 ≥ 0 entonces a2 –2ab + b2 ≥ 0 a2 + b2 ≥2ab (a + b)2 ≥ 4ab (1) Del mismo modo: (b + c)2 ≥ 4bc (2) (a + c)2 ≥ 4ac (3) Sumando (1) + (2) + (3): (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 ≥ 4(ab + bc + ac)// /+(2ab) a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab

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3) Probar que a) a + b + c = 6 b) a + b + c = 1 c) a + b = 1 d) a2 + b2 = 4 Solución: a) De a + b + c = 6 tenemos (a + b + c)2 = 62 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 36 (∗) Por otra parte, en la solución 2c)anterior se demostró que a2 + b2 ≥ 2ab Del mismo modo: b2 + c2 ≥ 2bc c2 + a2 ≥ 2ac Finalmente, reemplazando (∗∗) en (∗): a2 + b2 + c2 + 2(a2 + b2 + c2) ≥ 36 3(a2 + b2 + c2) ≥ 36 ⇒ b) De a + b + c = 1 se tiene 1–a = b+c 1–b = a+c 1–c = a+b y puesto que a2 + b2 ≥ 2ab, entonces (b +c)(a + c)(a + b) ≥ 2abc + 2abc + 2abc + 2abc ≥ 8abc// c) De a + b = 1 tenemos a2 + 2ab + b2 = 1. Pero a2 + b2 ≥ 2ab ⇒ a2+2ab + b2 ≥ 4ab ⇒ 1 ≥ 4ab, o bien 4ab ≤ 1// ⇒ (b +c)(a + c)(a + b) = a2b + abc + a2c + ab2 + b2c + abc + ac2 + bc2 = (a2b + bc2) + (ab2 + ac2) + (a2c + b2c) + 2abc = b(a2 + c2) + a(b2 + c2) + c(a2 + b2) + 2abc a2 + b2 + c2 ≥ 12// /:3 sumando ⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ac ⇒ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ac) (∗∗) ⇒ ⇒ ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ 12 (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc

4ab ≤ 1 ⇒ a4 + 1 + b4 + 1...