Calculo Aplicado

REGLAS DE LA ARITMETICA

a). – Solución

como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los términos de las funciones, es decir si entonces
por lo que para la función planteada en el ejercicio:
 

 
Recordando que la derivada de una función potencia es y que en la derivada de una constante es cero tendremos
 

 
es decir
 
b). – Solución
 
Paraeste caso
Distribuyendo la derivada tenemos:

 
y utilizando directamente la fórmula para la cual es :
observamos que al derivar, por ejemplo, obtenemos por lo que :

 
 
c). – Solución
 
De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:

como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se obtiene
 

por lo tanto:
 

 
 
d). – Solución
 

 derivando cada término

Por lo que:
 
 

 
Obtener los siguientes problemas.
 
a).-
b).-
c).-
d).-
 
Para la solución de estos problemas utilizaremos, además de las fórmulas expuestas en el ejercicio anterior la fórmula siguiente:

 
 
a).- Solución
 

 
para obtener la solución tenemos dos caminos.
 
1ero
en este caso si comparamos con la fórmula paraderivar la división de dos funciones tendríamos el análogo f(x)=x y g(x)=x2+1
derivando cada función obtendríamos:
 
f´(x)=1
y
g´(x)=2x
 
sustituyendo en (A.1) tendríamos:
 

 
 
simplificando:
 

 
2ada forma Como


ya que x2+1 nunca es cero, entonces:

podremos utilizar la fórmula:
 

 
donde f(x)=x y g(x)=(x2+1)-1
derivando cada funciónobtendríamos:
 
f´(x)=1
y

sustituyendo en A.2 obtenemos:
 

 
b).-Solución
 
 
aplicando la fórmula

tenemos:
 

 
del ejercicio anterior ya obtuvimos que:
 

y entonces:
 

 

 
por lo tanto:
 

 
c).- Solución

sustituyendo en la ecuación (A.1)
 
 

por lo tanto:

 
d).- Solución
 
 
aplicando lafórmula

tenemos:
 

pero ya hemos calculado del ejercicio a)
 

 
y la derivada de x3-x es:
 

de lo que:
 


EJEMPLOS:

Integración por cambio de variable

Sea f(x) una función y F(x) una de sus primitivas. Si x = (u) 
F(x) = F((u)) = G(u), y así, aplicando la regla de la cadena para calcular la
derivada, obtenemos que G '(u) = F '((u)) '(u) =f((u)) '(u).
Luego: f (j(u))j'(u) du = G(u) + C = F((u)) + C. El camino a seguir sería:
elegir un cambio de variable para realizar; resolver la nueva integral en la nueva
variable; por último, deshacer el cambio para dar el resultado en función de la
variable original.

EJEMPLOS:

Integración por partes
Sea u(x)v(x) el producto de dos funciones de x. Aplicando las reglas dediferenciación para el producto de funciones, obtenemos:
d(uv) = v du + u dv
o, equivalentemente,
u dv = d(uv) – v du
Integrando miembro a miembro esta igualdad, llegamos a:
u dv = d (uv) v du
pero, como la diferenciación y la integración son funciones inversas, se tieneque: duv= uv , y, por tanto, la expresión anterior queda:
u dv uv v du
Esta igualdad entre integrales se conoce comoel método de integración por partes. Así, si la integral que queremos calcular tiene la forma de un producto u dv , se puede intentar aplicar este método para obtener una parte conocida de la primitiva, uv, y una nueva integral a resolver, v du . Se espera que esta nueva integral sea más fácil de calcular que la primera. Si fuera más difícil, se prueba a intercambiar los papeles de u y dv (dvdebe contener siempre a dx) y comenzar el cálculo. Si la nueva integral es aún más difícil, este método no es bueno y no se aplica.

LIMITES

1.- Resolver el limite:
solución:
 

 
2.- Resolver el limite
solución:
La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la...