Calculo Avanzado

EJEMPLO I
LAPLACE

Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ en serie cuando [pic], R = 50W , C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).
[pic]
[pic]

EJEMPLO II
En el circuito que se indica obtener la carga y la corriente para cualquier tiempo; si en t=0, q =0, i =0.
[pic]
- Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:[pic]
- [pic]

- Sustituyendo: [pic]

- Resolver primero para q (t): sustituir [pic]
- [pic]
- [pic]Modelo matemático del circuito.

- Aplicando la transformada a toda la ecuación:
    [pic]

- Factorizando la transformada: [pic]
- Despejando la transformada: [pic]
- Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación:[pic][pic]

- Simplificando la expresión, en una suma de fracciones parciales:
[pic]; resolviendo se tiene:
[pic]
[pic]
10=[pic]
A= 0.1; B= - 0.1; C= - 0.1; sustituyendo éstos valores:
- [pic]

- Obteniendo la transformada inversa mediante las fórmulas:
[pic]=> RESULTADO.
[pic]
[pic]=> RESULTADO.Gráfica de la carga: [pic] 
[pic]

Gráfica de la corriente: [pic]
[pic]

EJEMPLO III
CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC (LAPLACE)

Considere el circuito de la figura:
[pic]
La ecuación diferencial que resulta de hacer LVK, es:
[pic] 
Sometiendo esta ecuación a la transformada de Laplace, obtenemos:
[pic]
De esta ecuación despejamos I(s):
[pic]
Ahora, cambiamos laforma del denominador para realizar un procedimiento de fracciones parciales:
 [pic]

Hallamos el coeficiente A, igualando s a cero:
 
[pic]
 Hallamos el coeficiente B, igualando s a [pic], y reemplazamos los valores:
[pic] 
[pic]
 Finalmente, aplicamos transformada inversa de Laplace, para que la respuesta esté en el dominio del tiempo:
 [pic]

EJEMPLO IV

FLUJO DE UN FLUIDOBIDIMENSIONAL (VARIABLE COMPLEJA)

Suponemos que el movimiento del fluido es idéntico en todos los planos paralelos al plano xy, siendo la velocidad paralela a ese plano e independiente del tiempo. En tales circunstancias, es suficiente estudiar el movimiento de una capa del fluido en el plano xy.

Denotamos mediante el vector representante del número complejo

[pic]

la velocidad de unapartícula del fluido en cualquier punto (x, y). Así pues, las componentes x e y de la velocidad vienen dadas, respectivamente, por [pic] y [pic]. En puntos interiores a una región del fluido libre de fuentes y sumideros, las funciones reales [pic], [pic] y sus derivadas parciales de primer orden se suponen continuas.

La circulación del fluido a lo largo de un camino C se define como la integral, conrespecto a la longitud de arco [pic], de la componente tangencial [pic] del vector velocidad a lo largo de C:

[pic]

El cociente de la circulación sobre C por la longitud de C es, por tanto, una velocidad media del fluido a lo largo de C. Se sabe que esta integral se puede escribir como:

[pic]

Si C es una curva cerrada simple, orientada positivamente, en un dominio simplementeconexo de fluido libre de fuentes y sumideros, el teorema de Green nos permite escribir:

[pic]

donde R es la región cerrada que forman el interior de C y los puntos de C. Así pues, para una curva de esa clase,

[pic] (1)

Es fácil dar una interpretación física del integrando de la derecha en (1) para la circulación a lo largo de la curva cerrada simple C. Sea C una circunferenciade radio r centrada en un punto [pic], recorrida en sentido positivo. La velocidad media a lo largo de C se calcula dividiendo la circulación por la longitud [pic]de la circunferencia. La correspondiente velocidad angular media del fluido en torno al centro de la circunferencia se obtiene dividiendo esa media por r:

[pic]

Ahora bien, ésta es también la expresión del valor medio de la...