calculo avanzado

Geometría
1. Introducción
2. Reseña histórica.
3. Geometría
4. Euclides
5. Los Elementos de Euclides
6. Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas
7. Geometría de Lobatchevsky
8. El significado Real de la Geometría de Lobatchevsky
9. Conclusión
10. Anexos
11. Bibliografía

Introducción
La geometría fue, primero, la ciencia de la medida de las extensiones (geo= tierra; metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con los geómetras griegos) fue la extensión de una línea, recta o curva; de una superficie limitada por líneas y de un volumen limitado por superficies. Pero rápidamente la expresión medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de "establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos clases:
• Relaciones de posición que seenuncian por proposiciones tales como " La recta D es paralela a la recta D’", " la recta D es tangente al círculo C", etc.
• Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es triple del segmento AC", "la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número que ninguna fracción puede definir", etc.
Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras de laantigüedad pusieron a punto un método que se convertiría más adelante en el método matemático por excelencia: la demostración.
Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir un conjunto importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de razones - como dijo Descartes- a algunos principios primeros. Este "corpus" es la geometría euclidiana.
Precisamente, el valor estético dela construcción euclídea y la trascendencia intelectual de su programa consiste en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas, definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los geómetras anteriores, Euclides seleccionaba unos pocos conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos conceptos, enunciadasexplícitamente, para, desde aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.
La geometría de Euclides, la geometría de Descartes, la geometría de Riemann o la de Lovachevski, etc., son unas teorías deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y podemos dar de ellas diversas imágenes que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estasimágenes pueden ser símbolos figurativos, ecuaciones, etc.
• La Geometría no euclídea: Geometría para la que no es válido el axioma de paralelismo de Euclides (quinto postulados de Euclides).
• La Geometría hiperbólica: Geometría no euclídea en la cual el postulado de las paralelas se sustituye por otro según el cual desde un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas aella, las cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de las que no tienen puntos comunes con esa recta.
• La Geometría elíptica: Geometría no euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el cual desde un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a ella.
• La Geometría proyectiva:Geometría cuyos objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones propias, las proyectividades.

Reseña histórica.
Es importante, antes de emprender un estudio de la geometría Euclidiana, revisar algunos antecedentes históricos que nos permita tener una visión general de su desarrollo. Tanto Proclos, como Herodoto, consignan en sus escritos que la geometría tuvo sus orígenes en Egipto conla medición de áreas, ya que el río Nílo, al desbordarse, borraba las señales que limitaban los terrenos de los agricultores. Según reseña el historiador Herodoto, en tiempos de Ramses II (1300 A. C.) la tierra del valle del Nilo se distribuía en terrenos rectangulares iguales por los cuales se debía pagar un impuesto anual, pero cuando el río invadía los terrenos, el agricultor tenía que...