calculo avanzado

Cálculo integral de funciones de una variable:
integral indefinida

Índice
1. Integral indefinida

1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Tabla de integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3. Técnicas de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.1. Linealidad (superposición) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.2. Cambio de variable (sustitución) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.3. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.4. Integración de ciertasfunciones que contienen trinomios cuadráticos . . . . . . . . . .

6

1.3.5. Integración de funciones racionales: descomposición en fracciones simples . . . . . .

14

1.3.6. Integración de funciones racionales: método de Hermite-Ostrogradski . . . . . . . . .

16

1.3.7. Integración de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.8. Integración defunciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.9. Integración de funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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M ATEMÁTICA A PLICADA Y E STADÍSTICA

OCW-ULL 2013

C ÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE : INTEGRAL INDEFINIDA

1.

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Integral indefinida

1.1.

Introducción

Problema: Dada unafunción f (x), encontrar otra, F(x), tal que F (x) = f (x).
Definición 1.1.1. Si f :]a, b[⊂ R → R es una función dada, y se cumple que F (x) = f (x) (x ∈]a, b[), se dice
que F(x) es una función primitiva de f (x) en ]a, b[.

Teorema 1.1.2. Dos funciones primitivas de f (x) en ]a, b[ difieren en una constante.

Definición 1.1.3. El conjunto de todas las funciones primitivas de f (x) se denominaintegral indefinida de
f (x) y se denota

f (x) dx.

En virtud del Teorema 1.1.2, si F(x) es una primitiva de f (x) entonces cualquier otra primitiva de f (x)
tiene la forma F(x) +C para alguna C ∈ R, lo que abreviamos escribiendo

f (x) dx = F(x) +C.

1.2.

Tabla de integrales indefinidas
xr + 1
+C
r+1

1.

xr dx =

2.

dx
= ln |x| +C
x

3.

ex dx = ex +C

4.

ax dx=

5.

sen x dx = − cos x +C

6.

cos x dx = sen x +C

7.

tg x dx = − ln | cos x| +C

8.

sec x dx = ln | sec x + tg x| +C

9.

cosec x dx = ln | cosec x − ctg x| +C

10.

ax
+C
ln a

(r = −1)

(a > 0, a = 1)

ctg x dx = ln | sen x| +C

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B. G ONZÁLEZ , D. H ERNÁNDEZ , M. J IMÉNEZ , I. M ARRERO , A. SANABRIA

11.

sec2 x dx = tg x +C

12.

cosec2 x dx = − ctg x +C

13.

sh x dx = ch x +C

14.

ch x dx = sh x +C

15.

1+x
1
dx
= ln
+C
1 − x2
2
1−x

16.

dx
= arc tg x +C
1 + x2

17.

dx
√
= arc sen x +C
1 − x2

18.

dx
√
= ln x +
x2 + 1

x2 + 1 +C

19.

dx
√
= ln x +
x2 − 1

x2 − 1 +C

1.3.

Técnicas de integración

1.3.1.Linealidad (superposición)

n

∑ c j f j (x)

n

dx =

j=1

1.3.2.

∑ cj

f j (x)dx.

j=1

Cambio de variable (sustitución)

Para el cálculo de

f (x)dx ponemos x = g(t), donde g ∈ C1 admite inversa: t = g−1 (x). Entonces:

f (x)dx =

f [g(t)]g (t) dt =

h(t) dt,

h(t) = f [g(t)]g (t).

Elegimos g de forma que la nueva integral indefinida sea más fácil de calcular.Obtenida ésta, deshacemos el
cambio:
f (x)dx =

Ejemplo 1.3.1.

h(t) dt = H(t) +C = H[g−1 (x)] +C = F(x) +C.

√
sen x cos x dx

R ESOLUCIÓN .
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C ÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE : INTEGRAL INDEFINIDA

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√
sen x cos x dx =
Cambio: sen x = t, cos x dx = dt
=

√
sen x cos x dx =

√
2
2
t dt = t 3/2 +C =...