Calculo Avanzado

Ayudant´ C´lculo Avanzado
ıa
a
Rodrigo J. Tranamil Vidal1
Departamento de Matem´ticas y Estad´
a
ıstica
Universidad de La Frontera
Av. Francisco Salazar 01145, Temuco
Rtran001@pinhue.ufro.cl
Marzo 5, 2008

1 Alumno

4to a˜o de Ingenieria Civil Industrial menci´n Inform´tica
n
o
a

´
Indice
1. Geometr´ de Rn
ıa
1.1. El espacio tridimensional . . . . .
1.2. Superficiescuadr´ticas . . . . . .
a
1.2.1. Planos . . . . . . . . . . .
1.2.2. Cilindros . . . . . . . . . .
1.2.3. Esferas . . . . . . . . . . .
1.2.4. Elipsoides . . . . . . . . .
1.2.5. Conos . . . . . . . . . . .
1.2.6. Paraboloide Eliptico . . .
1.2.7. Paraboloide Hiperb´lico .
o
1.2.8. Hiperboloide de una Hoja
1.2.9. Hiperboloide de dos Hojas
1.3. Gr´ficas . . . . . . . . . . . . . .
a

.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
.3
.4
.4
.5
.6
.7
.7
.8
.8
.9
.9
. 10

´
2. Algebra vectorial
2.1. Elementos b´sicos . . . . . . . . . . .
a
2.2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . .
2.3. Ecuaciones del plano . . . . . . . . .2.4. Ecuaciones distancias . . . . . . . . .
2.5. Posiciones relativas de rectas y planos
2.5.1. Posiciones de dos planos . . .
2.5.2. Posiciones de dos rectas . . .
2.5.3. Posiciones de recta y plano . .
2.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
..
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

14
14
15
15
16
17
17
17
18
19

3. Funciones de Varias Variables
3.1. Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. L´
ımites . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. La diferencial como aproximaci´n del incremento . .
o
3.7. ElGradiente ( f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Derivadas Parciales de Orden Superior-Hessiana . . . . . . .
3.9. Regla de la Cadena y Derivaci´n Impl´
o
ıcita . . . . . . . . . .
3.10. Extremos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1. Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.2. Puntos cr´
ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . ....