calculo bolzano

Tema

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Propiedades de las funciones continuas
Estudiamos en este tema los dos resultados fundamentales sobre la continuidad de funciones
reales de variable real, que se refieren a funciones continuas en intervalos. Primero veremos que
si una función continua en un intervalo toma dos valores, ha de tomar en dicho intervalo todos
los valores intermedios. Equivalentemente, las funcionescontinuas transforman intervalos en
intervalos. En general, el intervalo de partida y su imagen pueden ser muy diferentes, pero
hay un caso particular importante, que nos lleva al segundo resultado fundamental: cuando el
intervalo de partida es cerrado y acotado, lo mismo le ocurre al intervalo imagen, con lo que la
función toma un valor máximo y un valor mínimo.

13.1.

Caracterización dela continuidad

Antes de probar los resultados anunciados, conviene obtener una importante caracterización
de la continuidad, que podríamos haber usado, y frecuentemente se usa, como definición de
función continua. De paso observaremos que para estudiar la continuidad de una función, basta
trabajar con sucesiones monótonas, siempre más manejables.
Caracterización (ε − δ) de la continuidad. Seaf : A → R una función y fijemos x ∈ A .
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) La función f es continua en el punto x .
(ii) Para toda sucesión {xn } de puntos de A , que sea monótona y converja a x , se tiene que
{ f (xn )} → f (x) .
(iii) Para cada ε > 0 puede encontrarse δ > 0 tal que, si y ∈ A verifica que |y − x| < δ ,
entonces | f (y) − f (x)| < ε . Simbólicamente:
∀ ε > 0 ∃δ > 0 : y ∈ A , |y − x| < δ =⇒ | f (y) − f (x)| < ε
Demostración. Que (i) ⇒ (ii) es evidente: lo que por (i) sabemos que se cumple para
todas las sucesiones de puntos de A que converjan a x , se cumplirá en particular para todas las
sucesiones monótonas de puntos de A que converjan a x .
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13. Propiedades de las funciones continuas

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(ii) ⇒ (iii). Probaremos que si no se verifica(iii) tampoco se puede cumplir (ii) . Si la
afirmación (iii) no es cierta, existirá un ε0 > 0 con la siguiente propiedad: para cada δ > 0
puede encontrarse y ∈ A (evidentemente y dependerá de δ ) tal que |y − x| < δ y, sin embargo,
| f (y) − f (x)| ε0 . Para cualquier n ∈ N , podemos entonces tomar δ = 1/n , para obtener un
yn ∈ A verificando que |yn − x| < 1/n , mientras que | f (yn ) − f (x)|ε0 . Como toda sucesión
de números reales admite una sucesión parcial monótona, existe una sucesión monótona {xn }
que es una sucesión parcial de {yn } . Es evidente que {yn } → x , luego {xn } → x , pero de ser
| f (yn ) − f (x)| ε0 para todo n ∈ N , deducimos que también | f (xn ) − f (x)| ε0 para todo
n ∈ N . En resumen, {xn } es una sucesión monótona de puntos de A que converge a x , pero
{f (xn )} no converge a f (x) , luego no se cumple (ii) , como queríamos.
(iii) ⇒ (i). Si {xn } es una sucesión de puntos de A que converge a x , deberemos probar que
{ f (xn )} → f (x) . Para ε > 0 , sea δ > 0 dado por la afirmación (iii) , y usemos que {xn } → x
para encontrar m ∈ N de forma que, para n m , se tenga |xn − x| < δ . Entonces, también para
n m , tenemos | f (xn ) − f (x)| < ε ,como queríamos.
La caracterización de la continuidad que más nos interesa es la dada por la condición (iii) ,
cuya interpretación geométrica merece un comentario. Fijada la función f : A → R y el punto
x ∈ A , para cada ε > 0 , podemos considerar las rectas horizontales de ordenadas f (x) − ε y
f (x) + ε que delimitan una banda horizontal formada por los puntos (u, v) ∈ R2 que verifican
f (x)− ε < v < f (x) + ε . Pues bien, f es continua en el punto x cuando, para todo ε > 0 (es
decir, por muy “estrecha” que sea la banda recién descrita), siempre podemos encontrar δ > 0
de forma que el conjunto y, f (y) : y ∈ A , |y − x| < δ , un subconjunto de la gráfica de f ,
esté contenido en dicha banda.

f
f (x) + ε
f (x)

(x, f (x))

f (x) − ε
x−δ

x x+δ

Con respecto a las...