calculo conceptos

 UNIDAD I
1.1 Números reales, propiedades y su representación gráfica
Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar:  = {1, 2, 3, 4...}

Con los números naturales   se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupoconmutativo.

Descomposición en factores primos:
 
Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.
  
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

El máximo común divisor de dos números se define, como su propio nombre indica, como el divisor más grande que ambos números tienen encomún. Si disponemos de la factorización de ambos números, entonces el máximo común divisor se obtiene quedándose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los que aparezcan.
El mínimo común múltiplo, nuevamente como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que ambos números tienen en común. Atendiendo a las descomposiciones deambos números, el mínimo común múltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.
Los números enteros

Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para laoperación suma.
Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+ (-b), se define como:
el entero positivo a-b, si a > b,
0, si a=b
el entero negativo -(b-a) si a < b
La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+ (-b)=-(a + b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.
Si además de la suma, consideramos la operación demultiplicación definida como
(-a)(-b)=ab
(-a)b=a(-b)=-(ab),
Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?
Los números racionales

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),
= {... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }
Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
Lasuma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b + c/d= (ad + cb)/bd.
El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc. 

   (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros) 
Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienenfactores comunes.
De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.

El cardinal de los racionales:
¿Cuántos números racionales hay? ¿Qué hay más, naturales o racionales?

Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay más racionales, puesto que los naturales son también números racionales, y además hay otrosracionales, como 1/2 por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales.

Representación decimal de números racionales:
Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0.5      3405/25=136.2  y 1/3=0.33333.......
Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o periódicas mixtas.
Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0.5,    1.348  o   367.2982345
Esta expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreducible) sólo...