calculo de área bajo la curva

UNIDAD 6: EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA.
LA INTEGRAL DEFINIDA
Esta unidad cierra el núcleo de Análisis y a la vez le da sentido:
Vais a poner en práctica todo lo aprendido acerca de derivación, integración, representación
de funciones, cálculo de límites, para algo tan tangible como es el cálculo de un área, de un
volumen, de consumo diario de energía, de trabajo realizado...

Índice decontenido
OBJETIVOS..............................................................................................................................................2
CONTENIDOS..........................................................................................................................................3
SESIÓN1...................................................................................................................................................4
SESIÓN 2...................................................................................................................................................7
SESIÓN 3.................................................................................................................................................13
SESIÓN4.................................................................................................................................................17
SESIÓN 5.................................................................................................................................................22

OBJETIVOS
OBJETIVOS DIDÁCTICOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
Objetivo 1. Conocer el concepto,la terminología, las propiedades y la interpretación
geométrica de la integral definida.
b

Criterio 1.1. Halla la integral,

∫ f  x ⋅d

x

reconociendo el recinto definido por, x=a

a

y x=b hallando sus dimensiones y calculando su área (aproximada o exacta cuando sea
posible) mediante procedimientos geométricos elementales.
Objetivo 2. Comprender el teorema fundamental delcálculo y su importancia para
relacionar el área bajo una curva con una primitiva de la función correspondiente.
Criterio 2.1. Responde a problemas teóricos relacionados con el teorema
fundamental del cálculo
Objetivo 3. Conocer y aplicar la regla de Barrow para el cálculo de áreas.
Criterio 3.1. Calcula el área bajo una curva entre dos abscisas.
Criterio 3.2. Calcula el área entre dos curvas.CONTENIDOS
CONCEPTOS
●

Integral definida. Propiedades.

●

Teorema fundamental del Cálculo

●

Regla de Barrow

PROCEDIMIENTOS
●

Relación del área de una figura plana conocida con la expresión de la misma mediante
la forma integral.

●

Cálculo aproximado de una integral definida mediante el método de las sumas.

●

Relación de la gráfica de una función y la de la quese obtiene al describir el área que
encierra bajo ella.

ACTITUDES
●

Confianza en las propias capacidades para resolver problemas

●

Evaluación crítica del trabajo en equipo para realizar problemas relacionados con las
integrales

●

Hábito de contrastar el resultado final de un problema en el que intervengan integrales
con lo propuesto en éste, para determinar lo razonable o nodel resultado obtenido.

SESIÓN 1
INTEGRAL DEFINIDA
Hay infinidad de funciones extraídas del mundo real (científico, económico...) para las cuales
tiene especial relevancia el área bajo su gráfica. Vamos a ocuparnos del cálculo de esas
áreas.

Área bajo la curva y=f(x), entre las rectas x=-1 y x=1

APROXIMACIÓN AL ÁREA BAJO UNA CURVA
Si conocemos la ecuación de una curva y = f(x) quetoma valores no negativos, ¿cómo
calcularemos el área entre la curva, el eje X y dos abscisas, x = a y x = b?
Una idea útil consiste en dividir [a,b] en tramos y aproximar el área mediante rectángulos con
base en el eje X y altura el mínimo valor que toma la función en cada tramo.

Si el intervalo [a,b] se ha partido en n trozos, no necesariamente iguales:
a = x0 < x1 < x2< ...< xn = b...