Calculo de areas de figuras planas

CALCULO DE AREAS Y FIGURAS PLANAS

1. Objetivos
* Principal
i. Conocer medios para áreas de figuras planas
ii. Familiarizarnos con la teoría de errores
* Secundario
iii. Familiarizarnos con los instrumentos de medición:
* Vernier
* Balanza
iv. Repasar el concepto de área
2. Fundamento Teórico
En este casovamos a hallar el área de una plancha de metal con forma de parábola. Para ello vamos ha recurrir a dos métodos uno con Integrales y otro basándonos en la densidad superficial del material. Las formulas después de deducirlas son:
Con Integrales:
Area de la parabola=S=43ab
Sin integrales con la densidad superficial del material:

Area de la parabola=S=masa de la parabolaσ

Algunos símbolos queutilizaremos:
σ : Densidad Superficial
S : Superficie o Area
A : Área de la parábola
Am : Área de media parábola
Ar : Área de figura rectangular
AS : Área de la figura sombreada
m : Masa
Como hallar el área de una parábola con integrales
En este caso hallaremos el área con la ayuda de integrales generalizando para cualquier parábola:

El área de la parábola seriael área de la figura rectangular de a*b menos el area de la figura sombreada.
Am=Ar-As
Am=a*b - ?
No conocemos el área de la figura sombreada.
Entonces hallemos el área de la figura sombreada con integrales, en este caso la integral definida ente 0 y a.

Todas las parábolas obedecen a la siguiente formula:
y=kx2
En nuestro caso:
b=ka2
De hay podemos despejar k:
k=ba2 (1)
Denuestra primera ecuación podemos desarrollar:
y=kx2
dA=kx2dx
A=dA=0akx2dx=kx33|0a
A=k*a33
De (1)
A=ba2*a33
Finalmente tenemos el área de la figura sombreada comprendida entre 0 y a:
A=ab3 (2)
Continuando:
Am=ab - ab3
Am= 23ab (3)

Pero como el área es solo de media parábola lo multiplicamos por 2 y finalmente el área de la parábola completa:
Area de la parabola=43ab
Como hallarel área de la parábola con la densidad superficial
En este caso hallaremos el área con la ayuda de otra plancha del mismo material y espesor
La densidad superficial de una placa o plancha esta definida por:
σ=ms
σ=ma*b
La densidad superficial de es la misma en cualquier placa o plancha siempre y cuando sean del mismo material y tengan mismo espesor.
Entonces podemos hallar la densidadsuperficial de la placa rectangular y luego utilizar la formula para halla
S=masa de la parabolaσ
Donde σ: Sigma es igual para la parábola o el rectángulo
Siempre y cuando sean del mismo material y espesor

3. Materiales e Instrumentos
* Materiales:
v. Una plancha de metal
vi. Hojas bond tamaño carta
* Instrumentos:
i. Una tijera para cortarmetal
ii. Papel Calca
iii. Programa que grafique funciones
iv. Lápiz
v. Vernier
vi. Balanza
vii. Una computadora
4. Procedimiento
* Experimental
1. Con la ayuda de la computadora Graficar parábola y un rectángulo e imprimir en hojas de papel
2. Utilizando el papel calca plasmar la forma de parábola en la plancha de metal
3. Con la ayuda de latijera cortar las figuras plasmadas en la plancha de metal.
4. Utilizando la balanza pesar varias veces las figuras y anotar en una hoja
5. Utilizando el Vernier para medir el ancho y alto de la Parábola
6. Utilizando el Vernier para medir el ancho y alto del rectángulo
* Teórico
7. Con la Ayuda de la computadora sacar promedio de los datos obtenidos
8.Determinar la densidad superficial del rectángulo

5. Datos
Figura | masa(g) | a (mm) | b (mm) | espesor (mm) |
Parábola | 50,20 | 39,64 | 159,84 | 0,74 |
| 50,22 | 39,64 | 160,02 | 0,76 |
| 50,24 | 39,62 | 159,86 | 0,74 |
| 50,18 | 39,62 | 159,84 | 0,72 |
Promedio | 50,21 | 39,63 | 159,89 | 0,74 |
| | | | |
Rectángulo | 73,20 | 79,28 | 159,04 | 0,76 |
| 73,20 | 79,28 |...