calculo de areas por determinantes

Área de una región poligonal en el plano cartesiano
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de n lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas :
,
,,........,
Entonces el área de la región poligonal
correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

.....(1)
Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite ,al final, el primer par ordenado
correspondiente
a la coordenada de
.
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

ID

1

De donde :

Luego el valor de la determinante estarádada por :

....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

....(3)
Notas :
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicableinclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicio de aplicación :
Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son:
,
,

y
Solución:
Hacemos un gráfico aproximado :
Elijamos comoprimer vértice al par ordenado
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
2

Reemplazando estos valores en (1) :

Resolvamos ladeterminante de acuerdo a la teoría :
ID
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas.
,
,
Haciendo un gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado
luego:

3

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1):

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :
ID
Luego los valores de D y de Irespectivamente serán:
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:...