CALCULO DE AREAS Y VOLUMENES

CALCULO DE AREAS POR INTEGRACION DOBLE

Se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dosvariables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es,
F(x,y)= 1, o
F(x,y)= y,
Cuando se trate de calcular el área,
o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y)dA (1)
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y).Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectasparalelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx (2)
algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atenciónen A interiores al contorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An (3)


sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)
Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

(5)
Existe, y se expresa por lanotación utilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en
z= F(x, y)
El término
F(xk, yk) Ak
Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. Lasuma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.
La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integraldoble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo o otra de las siguientes integrales iteradas:
"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx (6)
Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble (1), con tal quela función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.
Vamos a explicar ahora el significado de la notación
"A" F(x,y) dy dx
El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);
para integrar el resultadode a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.
Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

(7)
Considerando x como constante se hace la integración respecta a y.
Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación (7) de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo
z= F(x, y) su altura en el punto (x,y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen.
dV=A(x)dx,
Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral

donde x se considera...