Calculo de Areas

Introducción

Si el problema del cálculo de la recta tangente llevo a los maten áticos del siglo XVII al desarrollo de las técnicas de la derivación, otro problema, el del cálculo del ´área encerrada por una curva, propicio el desarrollo de las técnicas de integración.
Se trataba, por ejemplo, de hallar el área encerrada bajo la curva f(x) entre los puntos a y b:

Se conocían fórmulas pararecintos de forma igual a figuras geométricas(rectangulares, triangulares, e incluso algunas de curvas especıficas), pero si la curva no tenía forma regular, no se conocía, en general, su área exacta.
El cálculo integral da respuesta a esta y otras cuestiones.











1. Calculo de Áreas:
El área generada bajo una curva continua, en un intervalo cerrado [a,b], se puede calcularhaciendo uso de la integral definida.
Una vez más, el teorema fundamental del cálculo, aparece como herramienta de gran ayuda al momento de calcular las mencionadas áreas.
Es importante señalar, que para tener éxito al momento de enfrentar ejercicios de este tipo, se requiere de la construcción -por lo menos aproximada - de los esbozos de las gráficas, de las funciones involucradas en una situaciónproblemática particular.
Como se va a trabajar con integración definida, se requiere que las integrales a resolver, posean límites de integración y es labor del lector analizar con detenimiento como se determinan dichos límites. Generalmente, los citados límites, vienen representados por las asíntotas y/o intersecciones que presentan las gráficas construidas previamente.
Para efectos de laconstrucción de las gráficas, es necesario que el lector recuerde el conjunto de pasos, vistos en cursos anteriores, para tal fin. Entre ellos están: Corte con los ejes y entre curvas, asíntotas, puntos críticos y de inflexión, concavidades, etc.
A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es mostrarle al lector, como se debe desarrollar el proceso de cálculo de áreas.
2.Calcular el Área de:
a) Área del triángulo
El área de un triángulo es igual a base por altura
Partido por 2.
La altura es la recta perpendicular trazada desde
Un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

b) Área del cuadrado
El área del cuadrado es igual a lado por lado.


c) Área del Tetraedro
Como un tetraedro está formado por 4 triángulos equiláteros, podemos hallar el área de untriángulo equilátero y multiplicar por 4 para obtener el área del tetraedro.

d) Área de un sólido irregular:
Partiendo desde el principio de que un sólido regular si se puede descomponer, si se puede lograr pero tal vez no al 100% efectivo, Descomponiendo sus partes en solidos lo más parecido a regulares, calcular sus áreas y luego sumarlas... en general para hacer esto se hacen estimaciones, sinosería muy complejo... imagina sacar el área de tu cuerpo como hacer la parte de tus dedos, puedes convertirlos en prismas rectangulares... o tu nariz en una pirámide alargada... no se los matemáticos se las ingenian
También se usan técnicas matemáticas mucho más avanzadas como "Calculo y Algebra" con integrales y derivadas que consiste en sacar las áreas bajo la curva de las parábolas en el planocartesiano por ejemplo y MUCHAS otras cosas...
e) Área del Pentágono
Llamamos perímetro al contorno y como el contorno de un pentágono regular son 5 segmentos iguales, su perímetro será la suma del valor de sus lados.
Por lo tanto, podemos decir que el área de un pentágono es igual al perímetro por la apotema dividido entre dos.

f) Área del Hexágono
Si es un hexágono regular, estaráformado de 6 triángulos equiláteros, si tomas 1 de los seis y lo divides en 2 triángulos rectángulos, observarás que comparten la altura, la cual es el apotema del hexágono, le asigno el valor de "L" al lado del hexágono, entonces los triángulos rectángulos tienen la base de 1/2L y la hipotenusa de L, para hallar el cateto faltante (apotema) tenemos:
a = √[L² - (L/2)²]
a = √[L² - L²/4]

g) Área...