CALCULO DE AREAS
















Cap´ıtulo 11


INTEGRACIO´ N. CA´ LCULO DE A´ REAS




11.1. Introduccio´n

Si el problema del ca´lculo de la recta tangente llevo´ a los matem´aticos del siglo XVII al desarrollo de las t´ecnicas de la derivaci´on, otro problema, el del ca´lculo del a´rea encerrada por una curva, propicio´ el desrrollo de las t´ecnicas de integracio´n.
Se trataba,por ejemplo, de hallar el ´area encerrada bajo la curva f (x) entre los puntos a y b:




Se conoc´ıan fo´rmulas para recintos de forma igual a figuras geom´etricas(rectangulares, triangulares, e incluso algunas de curvas espec´ıficas), pero si la curva no ten´ıa forma regular, no se conoc´ıa, en general, su a´rea exacta.
El ca´lculo integral da respuesta a esta y otrascuestiones.


11.2. Primitivas. Integral indefinida

Dada un funcio´n f (x), sabemos calcular su derivada f t(x), e incluso sus derivadas sucesivas, f tt(x),
f ttt(x), etc.
Sin embargo ahora nos planteamos el problema rec´ıproco:
Dada una funcio´n f (x), se trata de encontrar otra, F (x), tal que al derivar esta u´ltima funcio´n, obtengamos la funcio´n inicial, es decir:


Veamosun ejemplo:
Tomemos la funci´on f (x) = 2x.
F t(x) = f (x)
Se trata de encontrar una funcio´n F (x) tal que al derivarla nos de f (x).




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Si pensamos un poco, llegamos a que tal funcio´n puede ser:

F (x) = x2

pues su derivada es precisamente f (x) = 2x.
Ahora bien, no es F (x) la u´nica funcio´n que cumple eso.
Tomemos esta otra:


Tambi´en su derivada es f (x) =2x.
F (x) = x2 + 43
Esto nos hace ver que no so´lo hay una funcio´n que cumple lo requerido, sino infinitas, sin ma´s que an˜adir cualquier nu´mero. Esto se expresa como:

F (x) = x2 + C

Una funcio´n F (x) como la que hemos encontrado se llama primitiva de f (x), y hemos visto que si una funcio´n tiene una primitiva, entonces tiene infinitas.

Llamaremos integral indefinida de lafuncio´n al conjunto de todas estas primitivas.
Lo representaremos, en el caso anterior, como:
¸ 2x dx = x2 + C, C ∈ R

Definici´on: Dada una funcio´n f (x), se llama primitiva de f (x) a otra funcio´n F (x) tal que:

F t(x) = f (x)

Se denomina integral indefinida de f (x) al conjunto de todas las primitivas (hay infinitas) de f (x), y se representa por:
¸ f (x) dx = F (x)+ C, C ∈ RAs´ı, el problema de calcular una primitiva de una funcio´n es inverso al de calcular una derivada; como son operaciones inversas la suma y la resta, el producto y el cociente, la potenciacio´n y la radicacio´n.


11.3. Primitivas inmediatas

De modo ana´logo al caso de las derivadas, debemos recordar algunas primitivas de las funciones m´as usuales:
¸
1. −
k dx = kx + C, C ∈ R, k ∈ R¸
2. −

¸
3. −
n+1
xn dx =
n +1
x−1 dx = ¸ 1
x
+ C, C ∈ R, , n ∈ R, n ƒ= −1


dx = ln x + C, C ∈ R

¸
4. −
ax dx = a
ln a
+ C, C ∈ R

¸
5. −
ex dx = ex + C, C ∈ R


¸
6. −
sen x dx = − cos x + C, C ∈ R


¸
7. −
cos x dx = sen x + C, C ∈ R

8. −
¸ 1
1+ x2 dx = arctan x, C ∈
¸ 1 R
9. −
dx = arc sen x + C, C
1 − x2
¸ −1 R
10. −
√ dx = arc cos x+ C, C
1 − x2
Estas primitivas permiten calcular algunas integrales sencillas.
Adem´as es conveniente la utilizaci´on de las dos propiedades siguientes:

1.
¸ k · f (x) dx = k · ¸ f (x) dx, k ∈ R

Esta propiedad indica que si hay un nu´mero multiplicando a toda la integral, entonces se puede sacar fuera de la integral.

2.
¸ (f (x) ± g(x)) dx = ¸ f (x) dx ± ¸ g(x) dx

Lo queindica esta propiedad es que si tenemos una suma (o resta) de dos funciones, entonces podemos separar la integral en la suma (o resta) de dos integrales.

Utilizando estas propiedades de manera combinada, se calculan las primeras integrales sencillas.
Veamos algunos ejemplos:


Ejemplo: Calcular las integrales siguientes:

2 .
a) ¸ √x dx b) ¸ (15x4 + 10x3 − 12x2 − 8x +...