Calculo De Derivadas Por Metodos Numericos

CALCULO DE DERIVADAS
Sea la función: y= f(x)
Se desea calcular la derivada de la función f(x), para lo cual lo expresamos gráficamente así:

tgβ= ∆y0h
ddx fx=1h[ ∆y0+2k-12∆2y0+3k2-6k+26∆3y0+... ]

Calculo de la primera derivada
ddx fx=1h ∆y0 donde: ∆y0= y1- y0
El problema de la derivada consiste en obtener el valor de las derivadas en una función tabulada en algunos puntos:
x=x0,x1,x2,x3,x4………….xn

Si yk=f(xk) yk=y0+k1∆y0+k2 ∆2y0+k3 ∆3y0+k4 ∆4y0……+kj ∆jy0
La primera derivada es:
ddx fx=ddx y0+k1 ∆y0+ k2 ∆2y0+k3 ∆3y0+k4 ∆4y0……+kj ∆jy0

Considerando que:
k=x-x0hy dkdx=1h 2)
k1=kk-1k-1=k 3)
k2=kk-1(k-2)k-1=kk-1 2 4)
k3=kk-16 5)
Remplazando en (2),(3),(4),(5) y derivando,se obtiene:
ddx fx=1h ddx y0+k∆y0+ kk-12 ∆2y0+kk-1k-26 ∆3y0…….
ddx fx=1h ∆y0+ 2k-12 ∆2y0+3 k2-6k+26 ∆3y0…….

Formula de derivación de dos puntos:
ddx fx=1h ∆y0 +e (Ecuación 1)

Donde e esun erro por truncamiento y se tiene
∆y0= y1- y0 (Ecuación 2)
Remplazando 2 en 1
ddx fx=1h y1- y0 +e
Con esta formula se puede obtener la derivada de la función tabular x= x0 mediante un polinomiointerpolante de primer grado, entonces se tiene:
ddx fx⃒x=x0
y'0=1h -y0+ y1+e
Se puede también obtener la deriva si x= x1 mediante un polinomio interpolante de primer grado, se obtiene:
ddxfx⃒x=x1
y'0=1h -y1+ y2+e
Y así sucesivamente.

Formula de derivación de tres puntos: Polinomio de segundo grado
ddx fx=1h ∆y0+ 2k-12 ∆2y0+e (Ecuación 1)
Donde:
∆2y0= ∆y1- ∆y0 (Ecuación 2)∆y0= y1- y0 ∆y1= y2- y1

Remplazando la ecuación 2 en 1 y haciendo k=0 se obtiene:
ddx fx=1h ∆y0+ -12 ∆2y0+e
ddx fx=12h 2∆y0 - ∆2y0+e
ddx fx=12h 2∆y0- (∆y1- ∆y0)+e
ddx fx=12h 2∆y0-∆y1+ ∆y0+e

ddx fx=12h 3∆y0- ∆y1+e

ddx fx=12h 3y1- y0-y2- y1+e

ddx fx=12h 3y1- 3y0-y2+ y1 +e

ddx fx=12h 4y1 - 3y0-y2+e

ddx fx=12h - 3y0+4y1-y2+e
Formula para la derivada...