calculo de determinates de ordenes 1, 2 y 3

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene: 


En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y suscorrespondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:


Cálculo de un determinante por los adjuntos de una líneaSea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria delelemento aij.
Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Llamamos menor complementariodel elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por ij
Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+jaij.
El determinantede una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntosde la 1ª fila se tiene:

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.
Nota
Esta regla rebaja el orden del determinante que sepretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros
Propiedades de los determinantes

 Si todos los elementos de una línea (fila ocolumna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos,respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)
Ejemplo
 Si se multiplican todos los elementos de una...