Calculo De La Inversa

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA El determinante de una matriz cuadrada es un número. Aprenderemos a calcular determinantes de matrices cuadradas de orden 2 y de orden 3. Determinante de una matriz de orden 2. a12  a Dada una matriz de orden 2, A =  11  se define el determinante de A y se escribe:  a21 a22 

A=

a11 a21

a12 = a11·a22 − a21·a12 a22

5 −2 = 5·3 − ( −2 )·7 = 15 +14 = 19 7 3 Determinante de una matriz de orden 3. El determinante de una matriz cuadrada de orden 3, es un número que se obtiene así: Ejemplo

a11 A = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a13 a12 a23 − a13 a22 a31 − a23 a32 a11 − a21a12 a33 a33

Ejemplo 2 3 1

−2 4 0 = 2·4·7 + ( −2 )·5·1 + 1·3·0 − 1·4·1 − 0·5·2 − 7·3·( −2 ) = 56 − 10 − 4 + 42 = 84 1 5 7
CÁLCULO DELA MATRIZ INVERSA

 a11  Dada una matriz A =  a21 a  31 siguiente forma:

a12 a22 a32

a13   a23  , para calcular su inversa procederemos de la  a33 

1º Calculamos su determinante. Det(A) ha de ser distinto de cero para ser invertible. 2º Formamos una nueva matriz con los adjuntos de cada elemento. Para ello calculamos los menores complementarios de cada elemento y le vamoscambiando el signo de manera alternativa, comenzando por el a12. Recordemos que el adjunto se calculaba como Aij = (−1)i + j ·α ij , siendo α ij su menor complementario. El menor complementario es la matriz que queda al suprimir la fila i y la columna j de la matriz A. 3º Trasponemos la matriz (adjunta traspuesta) 4º Dividimos cada elemento por el determinante de A. Ejemplo de cálculo de la inversa enel siguiente enlace.

RANGO DE UNA MATRIZ. En este apartado veremos cómo calcular, usando determinantes, el rango de una matriz. Primero necesitamos conocer algunas cuestiones. Si tenemos un conjunto de vectores v1 , v2 ,..., vn decimos que son linealmente dependientes (en adelante l.d.) si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal (en adelante C.L.) de los demás. Por ejemplo v1(1,1), v2 (1, 2), v3 (3, 4) son l.d. ya que v3 = 2v1 + v2 , es decir ( 3, 4 ) = 2 (1,1) + (1, 2 ) .

Si tenemos un conjunto de vectores v1 , v2 ,..., vn decimos que son linealmente independientes (en adelante l.i.) si ninguno de ellos se puede expresar como C.L. de los demás. Las filas y columnas de una matriz pueden verse como vectores. Podemos analizar si sus filas (columnas) son l.i. o l.d.Por ejemplo  1 2 0 La matriz A =   tiene sus dos filas l.i. ya que la fila segunda no es  −1 3 4  proporcional a la primera.  5 −1    6 3  , las dos primeras filas son l.i. Las otras dos dependen En la matriz B =   1 −17    11 2  linealmente de las primeras. En efecto F3 = 5F1 – 4F2; F4 = F1 + F2 Llamamos rango de una matriz al número de filas (columnas) que son l.i. En losejemplos anteriores el rango es 2. [Se puede demostrar que el número de filas l.i. coincide con el número de columnas l.i. Por lo tanto el estudio del rango lo podemos hacer bien por filas o por columnas] Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: Determinante(A)=0 Las filas de A son l.d. O bien Determinante(A) ≠ 0

Las filas de A son l.i. De aquí deducimos que el rango de una matriz es elmáximo orden (tamaño) de sus menores no nulos. MÉTODO PRÁCTICO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ. Ejemplo 3 5 1    −2 1 0  Lo primero que tenemos que tener claro es que como mucho el A=  1 −4 −5     4 0 1 rango es 3, ya que el número máximo de columnas l.i. es 3 . Observamos que el menor 1 3 = 1 + 6 = 7 ≠ 0 . Luego ya sabemos que las dos −2 1 primeras filas son l.i. y como mínimo elran(A) = 2. Hay que averiguar si es 2 ó 3. Para que fuera 3 tendríamos que encontrar un menor de orden 3 distinto de 0. Pero sólo probaremos con aquellos que contengan las dos primeras filas, que ya hemos visto que son l.i.

1

3

5

−2 1 0 = 0 1 −4 −5 1 3 5
Sin embargo −2 1 0 = 1 − 20 + 6 = −13 ≠ 0 , con lo que acabamos de demostrar que el 4 0 1 rango de la matriz A es 3. Las Filas F1,...