Calculo de la velocidad media de un fluido

Mecánica de fluidos José Carlos Jiménez Cruz Grado en electrónica industrial y automática 16/10/2010

EJERCICIO 4:
La velocidad axial de un líquido incompresible por una tubería cilíndrica vienedada aproximadamente por:
r  u = U 0 1 −  R 
m

De esta forma, la velocidad u varía desde u = U0 en el centro a u = 0 en las paredes. Este perfil de velocidad es el típico de flujosviscosos (donde si el flujo es totalmente laminar m es aproximadamente 1/2). Calcula la velocidad media dada Q por u media = . S

Tenemos que por definición la velocidad media es u media =

Q . S SiendoQ el caudal o volumen de fluido por unidad de tiempo que pasa a través de una sección transversal a la corriente. En nuestro caso esa sección es S que se corresponde con la sección transversal de latubería de radio R. Tenemos pues que el caudal es:
Q = ∫ u ⋅ n ⋅ dS

Siendo u la velocidad, n la normal a la superficie y dS el elemento infinitesimal del área. Puesto que el componente de lavelocidad es paralelo a la normal de la sección tenemos que nuestro caudal sería:
Q = ∫ u ⋅ dS

1

Y puesto que nuestra sección es la de un tubo de radio R tenemos que:
S = π ⋅ R2

Finalmenteobtenemos que: u media =

∫ u ⋅ dS
π ⋅ R2

Además si ponemos la dS en función del radio obtenemos que:
dS = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr Y si además sustituimos la expresión de u con la que nos ofrece elenunciado obtenemos que:

u media

r r   ∫ U 0 1 − R  ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr ∫ 1 − R  ⋅ r ⋅ dr     = = 2U 0 2 R2 π ⋅R

m

m

Procedemos a resolver dicha integral. Para ello aplicamos elmétodo de integración por sustitución:

r ⇒ R r = (1 − t ) ⋅ R ⇒ t =1− Por tanto tenemos lo siguiente:

dr R dr = − R ⋅ dt dt = −

u media = 2U 0

∫ (t ) ⋅ (1 − t ) ⋅ R ⋅ (− R ) ⋅ dt = 2U
mR

2

0

∫ t ⋅ (t − 1) ⋅ dt
m

u media = 2U 0

[(∫ t

m +1

⋅ dt −

) (∫ t

m

⋅ dt

)]

Puesto que el intervalo de integración es el de r, el cual varía entre 0 y R,y si...