Calculo De Limites

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1
1 Límites de funciones
En este capítulo se definirá formalmente la noción de límite para una función de
variable real y con valores en R. O sea, una función f : I → R, x 7→ f (x), donde I
es un intervalo abierto de la recta real.
Se escoje un punto a ∈ I, donde incluso la f puede no estar definida y se
analiza el comportamiento de lasimágenes f (x), para puntos x próximos de a, pero
diferentes de a. Esto conducirá al concepto de “límite de f (x) cuando x tiende al
punto a”.
En general, en la recta real R podemos considerar la noción de distancia entre
dos puntos x y a dada por la fórmula
d (x, a) = |x − a|
Con respecto a ésta, los dos puntos estarán (o se considerarán) próximos cuando
d (x, a) = |x − a| < δ donde δ > 0 esun número pequeño.
Por ejemplo, la condición 0 < |x − a| < 10−5 significa que x 6= a y la distancia
entre ellos es menor que 0, 00001. O sea, son bastante parecidos o próximos (aunque
distintos).
Considere ahora la función f definida por
f (x) =
x2 − 1
x − 1
en su dominio R − {1}.
Aunque no es posible calcular f (1), sí podemos evaluar f en puntos x tan cercanos
de 1 como queramos. Piensepor ejemplo en f (0, 9) , f (0, 99) f (0, 999) , ...
., f (0, 9999999999).
¿Qué comportamiento podemos detectar en estos valores?
El siguiente cálculo muestra una tabla de valores para f evaluada en puntos
próximos de 1.
Obs.- Las cuatro siguientes líneas son para construir la tabla que viene a continuación,
no es necesario que las considere o trate de entenderlas. Sólo mire la tabla
en lapróxima página: la primera columna es un valor de x y en la segunda aparece
su imagen f (x) .
δ = 0.00002
n = 25
g (i) = 1 − δ + i ∗ δ
n
h (i, j) = (2 − j) g (i) + (j − 1) f (g (i))
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

. 999 980 8 1. 999 980 8
. 999 981 6 1. 999 981 6
. 999 982 4 1. 999 982 4
. 999 983 2 1. 999 983 2
.999 984 1. 999 984
. 999 984 8 1. 999 984 8
. 999 985 6 1. 999 985 6
. 999 986 4 1. 999 986 4
. 999 987 2 1. 999 987 2
. 999 988 1. 999 988
. 999 988 8 1. 999 988 8
. 999 989 6 1. 999 989 6
. 999 990 4 1. 999 990 4
. 999 991 2 1. 999 991 2
. 999 992 1. 999 992
. 999 992 8 1. 999 992 8
. 999 993 6 1. 999 993 6
. 999 994 4 1. 999 994 4
. 999 995 2 1. 999 995 2
. 999 996 1. 999 996
.999 996 8 1. 999 996 8
. 999 997 6 1. 999 997 6
. 999 998 4 1. 999 998 4
. 999 999 2 1. 999 999 2


Se ve que:
“en la medida que x se aproxima a 1, su imagen f (x) se acerca al
valor L = 2”.
Este característica de la f, cerca de 1, se formaliza en la siguiente definición.
1.1 Definición de límite
Definición 1 Sea f definida en un intervaloabierto I, con la posible excepción del
punto a ∈ I y sea L un número real. Se dice que lim
x→a
f (x) = L si y sólo si
Dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que
∀x : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
Considerando que
0 < |x − a| < δ ⇔ x ∈ ]a − δ, a + δ[ ∧ x 6= a
|f (x) − L| < ε ⇔ f (x) ∈ ]L − ε, L + ε[
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la definición puede reescribirse:
Dado ε >0, existe un δ > 0 tal que
∀x : x ∈ ]a − δ, a + δ[ ∧ x 6= a ⇒ f (x) ∈ ]L − ε, L + ε[
lo que debe entenderse en el sentido que:
si x es próximo de a, entonces f (x) es próximo de L.
La interpretación geométrica de este concepto aparece en el siguiente gráfico para
la función f , cerca del punto a. La curva y = f (x) se acerca al punto (a, L) ,tanto
desde la derecha como de la izquierda.
1
1L
a
L-ε
L+ε
a-δ a+δ
y = f(x)
Dado ε > 0
Existe δ> 0
Ejemplo 2 Use la definición de límite para mostrar que:
a) lim
x→1
[2x + 3] = 5
b) lim
x→2
£
x2¤
= 4
c) lim
x→9
√x = 3
a) Sea ε > 0. Se debe encontrar δ > 0 tal que
∀x : 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(2x + 3) − 5| < ε
¿Cómo se encuentra?
Basta considerar que |(2x + 3) − 5| = |2x − 2| = 2|x − 1|. Luego, si se elige
δ =
ε
2
se...