Calculo de Limites

 Calculo de límites

Límites laterales
Aproximación a un pto. por defecto (izq.), por exceso (der.)
Para que exista límite tienen que existir límites laterales y que tanto el límite en el punto como los laterales sean igual a un número que no sea infinito.

Indeterminaciones : 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , -
1. Funciones racionales ; g(x)/g(x) = 0/0 ó /
0/0 Se hace el cociente depolinomios.
/ Se divide por el X de mayor grado.

2. Funciones irracionales ; g(x)/g(x) = 0/0 ó /
Multiplicamos por el conjugado de la raíz arriba y abajo

3. L´Hopital, se deriva en el numerador y en el denominador a la vez.

4. 0 ·  Se transforma en el primer o segundo caso. Ejemplo :



Da / o 0/0



1.
Si el límite tiende a infinito se hace por el número e
Donde F(x) tiende a 0.

Sitiende a K se hace por Logaritmos neperianos


2. Multiplicando y dividiendo por su conjugado

Comparación de Infinitos : Logb n < n < na < kn < n ! < nn
 Tema 1 : Sucesiones
Es una aplicación de los números naturales sobre los reales.

Sucesión acotada :

Una serie converge cuando su límite existe, será divergente cuando su límite sea  .

Toda sucesión convergente está acotada y el valor deconvergencia es la cota.


Carácter de una sucesión :
Convergente : si el límite del termino general es finito
Divergente : si el límite del termino general es + o - infinito
Oscilante : si carece de límite (no es ninguna de las anteriores)

MONOTONIA  : creciente
 : decreciente

Si no se verifican estas dos condiciones son oscilantes
Para estudiar su monotonía


Para calcular los límitespodemos utilizar todo menos L´Hopital.

Comparación de infinitos : Logb n < n < na < Kn < n ! < nn

Criterio de STOLZ (bueno para eliminar factoriales o términos infinitos con relación)
Y
Solo si se cumple : {bn} es monótona creciente con Lim {bn}=   ó
{bn} es monótona creciente y lim {an} = Lim {bn} = 0.

Comparación con otras sucesiones
Dado an En el que no sabemos Lim an, Si hay un bn >= an en el que el Lim bn = K y también Hay un cn <= an en el que el Lim cn = K entonces también el Lim an es K.

Teorema : Sean an y bn dos sucesiones de números reales tales que an > 0 para todo n perteneciente a los números reales
Si : Entonces
 Tema 2 : Series
Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como :  an y correspondea la suma de todos los términos de la sucesión.

Carácter de una serie.
Convergente : Cuando la suma es un número real.
Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.

Suma de una serie geométrica. Sn = a + ar1 + ar2 + ar3 + .....+ arn-1 + arn + arn+1
|R| < 1 Serie convergente
R  -1 Serie oscilante
R  1 Serie divergente

Propiedadesgenerales de las series numéricas
1.  an = S entonces  K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
Si  an es divergente no podemos saber nada.

2. Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.


Condición necesaria para la convergencia: Sea :  an Calculamos :Si k = 0 la serie converge o diverge (Continuar el problema)
Si k  0 la serie diverge (Fin del problema)

Convergencia de series con solo términos positivos

A. Teorema 1 :Toda serie de términos positivos es convergente o divergente, pero nunca oscilante.
B. Teorema 2 : Alterando arbitrariamente el orden de los términos, descomponiendo arbitrariamente cada uno de los sumandos, no se altera elcarácter de la serie, ni varía su suma.

1. Criterio de Cauchy o de la Raíz. Calculamos :
Si k < 1 la serie converge (Fin)
Si k > 1 la serie diverge (Fin)
Si k = 1 no sabemos (Continuar)
Funciona con : ( )n , ( )p(n)
2. Criterio de D’Alembert o del cociente. Calculamos :
Si k < 1 la serie converge (Fin)
Si k > 1 la serie diverge (Fin)
Si k = 1 no sabemos (Continuar)
Funciona con : kn , n ! ,...