Calculo de limites
Páginas: 58 (14422 palabras)
Publicado: 15 de junio de 2015
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
LÍMITE EN UN PUNTO
LÍMITES LATERALES
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
CÁLCULO DE LÍMITES
LÍMITES AL INFINITO
LÍMITES INFINITOS
OTROS LÍMITES
OBJETIVOS:
•
•
•
•
Definir Límites.
Realizar demostraciones formales de límites.
Describir gráficamente los límites.
Calcular límites.
1
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés VillenaMuñoz
1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este
tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, la derivada y la integral
definida son conceptos basados en límites. Conceptualizar límite determinando
el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará
bastante en el inicio del análisis de los límites.
1.1.1DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto
singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra
intención y el estudio de los límites va a permitir esto.
Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple
inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.
Ejemplo 1
Veamos como se comporta la funciónla cercanía de x = 2 .
f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en
Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :
x
y = 2x +1
1.90
4.80
1.95
1.99
4.90
4.98
"
"
2.01
5.02
2.05
5.10
2.10
5.20
En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x
aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que losvalores de y se van acercando a 5.
Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función
se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo
escribiremos de la siguiente forma:
lím (2 x + 1) = 5
x→2
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:
2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena MuñozEjemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia
f ( x) =
x 2 + 5x − 6
, en la cercanía de x = 1 .
x −1
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:
x
0.90
y=
x2 + 5x − 6
x −1
6.90
0.95
6.95
0.99
6.99
"
"
1.01
7.01
1.05
7.05
1.10
7.10
Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cadavez que la variable independiente x
x 2 + 5x − 6
=7.
x →1
x −1
se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
Por
otro
lado,
la
regla
de
correspondencia
f ( x) =
x 2 + 5x − 6
x −1
es
equivalente
a
f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?).
Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica:
De loexpuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía,
podemos emitir la siguiente definición:
3
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Una función f tiene límite L en un punto
x0 , si f se aproxima a tomar el valor L
cada vez que su variable independiente x
se aproxima a tomar el valor x0 . Lo que
se denota como:
lím f ( x) = L
x→ x0
Para los dos ejemplosanteriores el comportamiento de las funciones se
puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo;
es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características
de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.
1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que
x →2
x + 5x − 6
=7.
x −1
2
lím
x →1
Para
esto,
debemos
garantizar
formalmente
el
acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su
variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores
no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se
cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá
en escribir...
Moisés Villena Muñoz
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
LÍMITE EN UN PUNTO
LÍMITES LATERALES
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
CÁLCULO DE LÍMITES
LÍMITES AL INFINITO
LÍMITES INFINITOS
OTROS LÍMITES
OBJETIVOS:
•
•
•
•
Definir Límites.
Realizar demostraciones formales de límites.
Describir gráficamente los límites.
Calcular límites.
1
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés VillenaMuñoz
1.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este
tema es trascendental para nuestro estudio. De hecho, la derivada y la integral
definida son conceptos basados en límites. Conceptualizar límite determinando
el comportamiento de una función e interpretarlo en su gráfica, ayudará
bastante en el inicio del análisis de los límites.
1.1.1DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto
singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra
intención y el estudio de los límites va a permitir esto.
Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple
inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.
Ejemplo 1
Veamos como se comporta la funciónla cercanía de x = 2 .
f con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 en
Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2 :
x
y = 2x +1
1.90
4.80
1.95
1.99
4.90
4.98
"
"
2.01
5.02
2.05
5.10
2.10
5.20
En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x
aproximándose a 2 en ambas direcciones y se observa que losvalores de y se van acercando a 5.
Aunque son sólo seis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función
se aproxima a 5 cada vez que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo
escribiremos de la siguiente forma:
lím (2 x + 1) = 5
x→2
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica:
2
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena MuñozEjemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia
f ( x) =
x 2 + 5x − 6
, en la cercanía de x = 1 .
x −1
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:
x
0.90
y=
x2 + 5x − 6
x −1
6.90
0.95
6.95
0.99
6.99
"
"
1.01
7.01
1.05
7.05
1.10
7.10
Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cadavez que la variable independiente x
x 2 + 5x − 6
=7.
x →1
x −1
se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lím
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
Por
otro
lado,
la
regla
de
correspondencia
f ( x) =
x 2 + 5x − 6
x −1
es
equivalente
a
f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 (¿POR QUÉ?).
Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica:
De loexpuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavía,
podemos emitir la siguiente definición:
3
Cap. 1 Límites de Funciones
Moisés Villena Muñoz
Una función f tiene límite L en un punto
x0 , si f se aproxima a tomar el valor L
cada vez que su variable independiente x
se aproxima a tomar el valor x0 . Lo que
se denota como:
lím f ( x) = L
x→ x0
Para los dos ejemplosanteriores el comportamiento de las funciones se
puede determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo;
es más, suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características
de su comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.
1.1.2 DEFINICIÓN FORMAL
Suponga que se plantea el problema de demostrar que lím 2 x + 1 = 5 o que
x →2
x + 5x − 6
=7.
x −1
2
lím
x →1
Para
esto,
debemos
garantizar
formalmente
el
acercamiento que tiene la función a su correspondiente valor cada vez que su
variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores
no nos sirve, el hecho que se cumpla para algunos valores no indica que se
cumpla para todos los valores próximos al punto. La demostración consistirá
en escribir...
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