Calculo De Primitivas Elementales

Tema 1.

Cálculo de primitivas de funciones
elementales

1.- Primitiva de una función.
Como veremos en los próximos temas, el cálculo integral está basado en el cálculo de primitivas,
de tal modo, que es frecuente incluir el cálculo de primitivas como parte del cálculo integral. La
relación entre uno y otro nos la da la conocida Regla de Barrow, que viene a conectar la integral
y la derivada:
bƒ ()d = F(b) − F(), siempre que F () = ƒ ().


Primitiva de una función

DEFINICIÓN 1.1

Sea ƒ : D ⊂ R −→ R una función sobre el conjunto abierto D, diremos
que una función F es primitiva de ƒ en D si
F () = ƒ (),

Ejem 1

Comprueba que log( +

 ∈ D.

1

 2 + 1) es primitiva de

2 + 1

en R.

Derivemos la primera y veamos si nos da la segunda:
d
d

log( +

2 + 1)

=

=

1
+

2 + 11

+

2 + 1

1+
+

2
2 2 + 1
2 + 1

2 + 1

=

=
1
2 + 1

PROPOSICIÓN 1.2

Si dos funciones F y G son primitivas de una misma función ƒ en un
intervalo abierto  entonces se diferencian en una constante; esto
es, existe una constante C ∈ R tal que F() = G() + C, para  ∈ .
En efecto, si F () = ƒ () y G () = ƒ (), para  ∈ , entonces, restando ambas, F () − G () = 0;
esto es, (F −G) () = 0, para  ∈ . Pero si la derivada es cero en el abierto  entonces la función
F − G debe ser constante en .
Ejem 2

Prueba que las funciones 2 cos2  y cos4  − sen4  se diferencian en una constante
en R y halla el valor de dicha constante.

Para probarlo, derivamos ambas funciones:
2 cos2 
cos4  − sen4 

=
=

= 4 cos (− sen ) = −4 sen  cos .

4 cos3 (− sen ) − 4 sen3 (cos )= −4 sen  cos  cos2  + sen2 
−4 sen  cos .

TEMA 1. Cálculo de primitivas de funciones elementales

Así pues, ambas son primitivas de −4 sen  cos , luego se diferencian en una constante: existe
C ∈ R tal que
2 cos2  = cos4  − sen4  + C, ( ∈ R).
Para hallar el valor de la constante C tomamos, por ejemplo,  = 0:
2 cos2 0 = cos4 0 − sen4 0 + C, de donde C = 1.

Bajo determinadascondiciones (por ejemplo, cuando es continua), puede asegurarse que una
función ƒ tiene primitiva, concretamente, la "integral indefinida" es en tales casos una de esas
primitivas:


F() =

ƒ (t)dt.


Así, si ƒ es continua en un intervalo [, b] y  ∈ (, b), entonces F () = ƒ ().
El anterior hecho es el motivo de que a las primitivas de una función ƒ se les represente por
ƒ ()d y se les llameintegal de ƒ . Aunque aquí vamos a usar también esta notación, no
debemos confundir los conceptos de primitiva e integral.

Ejercicios
1. Deriva los siguientes pares de funciones para estudiar si se diferencian en una constante y hállala en
caso de existir.
(a) sen2 (2 + 1) y − cos2 (2 + 1).
(b) sec2  y tn2 .
(c) sh2 2 y ch2 2 .


2
  − 4
(d) 2 rctg 
 y rctg
−2

2
2 − 4

2.-Funciones elementales.

En cursos anteriores has estudiado diferentes expresiones analíticas de funciones reales de variable real denominadas funciones elementales y que recordamos a continuación:
❼ Funciones polinómicas: su expresión analítica es un polinomio. Algunas reciben nombres
propios, como función constante, función lineal, función afín, función cuadrática, etc.

– Ejemplos: 2 − 1,

7,

23 −3/ 4,

2 − 1, ...

❼ Funciones racionales: su expresión analítica es el cociente de dos polinomios (usa sumas,
productos y cocientes).

– Ejemplos:

1
−1

,

2
3 + 

, ...

❼ Funciones algebraicas: en su expresión analítica intervienen polinomios, cocientes y radicales (usa sumas, productos, cocientes y raíces).

– Ejemplos:
Integración (Quico Benítez)

1+

−1

+2

,

3

27 − 3 − 5, ...Pág. 2

TEMA 1. Cálculo de primitivas de funciones elementales

❼ Funciones trascendentes: en general, reciben este nombre las funciones cuya expresión
analítica no es algebraica. Las funciones elementales trascendentes son aquellas en
las que intervienen en su expresión analítica alguna de las siguientes:

– Funciones exponenciales:  , donde  ∈ R+ . Todas pueden expresarse a partir de la...