Calculo de probabilidades

CÁLCULO DE PROBABILIDADES :

• Experimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos.
• Álgebra de sucesos.
• Frecuencias. Propiedades.
• Probabilidad. Resumen de Combinatoria.
• Probabilidad condicionada. Teoremas.

PROBABILIDAD

Existen dos tipos de fenómenos:
- deterministas, que son aquellos cuyos resultados se pueden predecir de antemano, y- estocásticos o aleatorios, que son los que dependen del azar (no se pueden predecir).
Se llama prueba al proceso mediante el cual se obtiene un resultado. Y se llama experimento aleatorio a todo fenómeno aleatorio.
Se llama espacio muestral, universo o población al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, y se representa por E. Sellama suceso aleatorio a todo subconjunto del espacio muestral. Se llama suceso elemental a un suceso unitario. Se llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos, y se representa por [pic]. Se llama suceso imposible al que no se verificará nunca, y se representa por [pic]. Se llama suceso seguro al que se verificará siempre, y se representa por E.

Se dice que unsubconjunto A [pic] [pic] se ha realizado o se ha verificado cuando el resultado de la prueba coincide con algún componente del subconjunto A.
Se dice que un suceso A implica a otro B cuando siempre que se verifica A, se verifica B: A [pic] B. Diremos que dos sucesos son iguales cuando A [pic] B y B [pic] A.

Álgebra de sucesos .-

[pic] A [pic] B es el sucesoque se verifica si y
[pic] sólo si se verifica uno de los dos.

[pic] A [pic] B es el suceso que se verifica cuando
[pic] se verifican los dos a la vez.

[pic] [pic], complementario de A, es el suceso que
[pic] se verifica cuando no se verifica A.

Propiedades:

Como las definiciones de unión,intersección y complementación de sucesos son idénticas a las de los conjuntos, estas operaciones para sucesos cumplen las mismas propiedades que para los conjuntos.
i) Conmutativa: A[pic]B = B[pic]A A[pic]B = B[pic]A
ii) Asociativa: A[pic](B[pic]C) = (A[pic]B)[pic]C A[pic](B[pic]C) = (A[pic]B)[pic]C
iii) Idempotente:A[pic]A = A A[pic]A = A
iv) Simplificación: A[pic](A[pic]B) = A[pic]B A[pic](A[pic]B) = A[pic]B
v) Distributiva: A[pic](B[pic]C) = (A[pic]B)[pic](A[pic]C)
A[pic](B[pic]C) = (A[pic]B)[pic](A[pic]C)
vi) Existencia de elemento neutro: A[pic][pic] = A A[pic]E = Avii) Absorción: A[pic]E = E A[pic][pic] = [pic]
viii)Complementación: E[pic] = [pic] [pic] = E
ix) Involución: (A[pic])[pic] = A
x) Leyes de Morgan: (A[pic]B)[pic]= A[pic][pic] B[pic] (A[pic]B)[pic]= A[pic][pic] B[pic]Álgebra de Boole:

Un conjunto dotado con dos leyes de composición (operaciones) que cumple la conmutatividad, distributividad, existencia de elemento neutro y existencia de complementario, se llama álgebra de Boole.
Así pues, ([pic];[pic], [pic]) es un álgebra de Boole.

Dos sucesos se dicen incompatibles si A[pic]B = [pic].

Un sistemacompleto de sucesos son n sucesos A[pic], A[pic], ......., A[pic] que verifican las dos siguientes condiciones:
i) A[pic][pic]A[pic][pic]......[pic]A[pic]= E
ii) A[pic][pic]A[pic]= [pic] , [pic] i, j = 1, 2, ...., n , i[pic]j.

Frecuencias .-

Sea un suceso A [pic]. Si efectuamos n pruebas de un experimento aleatorio, designaremos por n[pic] el número de veces...