Calculo de raíces de polinomios

CALCULO DE RAICES DE POLINOMIOS

La forma general de la ecuación polinómica de grado n es: 
 a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x +  an = 0

Las ecuaciones de grado n tienen siempre n soluciones (o raíces).  En casos particulares, algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre sí.

* 1.-Teorema de las raíces racionales

Si los coeficientes ai son números reales, entonceslas soluciones pueden ser números reales o complejos.  (Cualquier combinación, con la siguiente restricción: si una de las soluciones es compleja, su conjugada también es solución.  Esto implica que las soluciones complejas vienen por parejas y por tanto las ecuaciones de grado impar tienen al menos una solución real).

Ecuaciones de primer grado:
ax + b = 0
Una solución:

Ecuaciones desegundo grado:
ax2 + bx + c = 0

Dos soluciones:
 
y

Ecuaciones de tercer grado:
ax3 + bx2 + cx + d = 0Tres soluciones: |
La forma general de la ecuación de tercer grado (o cúbica) es:  
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Las ecuaciones de tercer grado tienen 3 soluciones (o raíces).
En su forma más general, estas 3 soluciones se pueden representar así:

Primera solución (de tres):
Segundasolución (de tres):
Tercera solución (de tres):

La segunda y tercera fórmula son iguales salvo por un signo "+ ó -" al comienzo, y otro signo "+ ó -" hacia la mitad.  Nótese que la segunda y tercera fórmula contienen a la unidad imaginaria "i".
Ecuaciones de cuarto grado:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 |
La forma general de la ecuación de cuarto grado (o cuártica) es:  ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0Las ecuaciones de cuarto grado tienen 4 soluciones (o raíces).
En su forma más general, estas 4 soluciones se pueden representar así:

Primera solución (de cuatro):

Segunda solución (de cuatro):
Tercera solución (de cuatro):
Cuarta solución (de cuatro):

Las cuatro fórmulas son iguales salvo por un signo "+ ó -" al comienzo, y por un par de signos "+ ó -" al final a la derecha de lasimágenes.  Nótese que la unidad imaginaria "i" no aparece en ninguna de estas fórmulas.
Ecuaciones de grado mayor que cuatro: |
Las soluciones de la ecuación de grado mayor que cuatro no son, en general, expresables mediante la combinación de operaciones simples como la suma, resta, multiplicación, división y radicación enésima [Ruffini, Abel, Galois].  Estas soluciones, sin embargo, se puedenhallar por métodos numéricos.

2.-División sintética

La división sintética es un procedimiento por medio del cual se puede dividir un polinomio de solo una indeterminada, de orden n, entre un polinomio de orden 1 de la forma x - a donde x es la indeterminada y a es un número. Este procedimiento es puramente numérico (no se requiere manejo de literales) y resulta más fácil que la división depolinomios convencional. Después de realizada la división se obtiene como cociente un polinomio de orden n - 1 y el residuo que es un número.

Generalmente utilizamos la division sintetica cuando hemos encontrado la raiz de un polinomio. La frecuencia con que se usa la division sintetica en el proceso de factorizacion hace que a veces se olvide que la division sintetica no es mas que un resumen delproceso de dividir un polinomio P(x) entre el polinomio (x-r). Veamos:

Es decir, la división sintética no es mas que una observación cuidadosa del método general de división de polinomios, cuando este es aplicado a los polinomios dividendo P(x) y divisor (x-r)

Características esenciales y no esenciales de la división sintética

a) Para fijar ideas supongamos que el polinomio dividendoes

*

Se observa que la condición de que A(x) y B(x) sean m6nicos (an=1, bm=1) podria fácilmente suprimirse, sin embargo esto hace los cálculos un poco engorrosos. En todo caso si an≠1 0 bm≠1podemos factorizar para convertir a A(x) y B(x) en monomios. Mas aun, si bm=1 no hay gran inconveniente si a≠ 1.

3.- Metodos de Hornner y Ruffini

En álgebra, el Método de Ruffini (debido al...