Calculo de temperaturas con diferencias finitas

Universidad de Chile  Facultad Ciencias Físicas y Matemáticas                   

Implementación y visualización de curvas  de isotemperatura en Matlab para proyecto  de pecera en forma de L. 
              
                                                                                                                            

 

                                                 Nombre:  Profesor:                        Fecha:     

   

Descripción del problema: 
Se desea construir un acuario en forma de L que pueda albergar peces de tipo tropical y de agua fría. Se sabe que los peces de agua fría pueden vivir en temperaturas entre 18 y 22°C,  mientras que los tropicales, entre 23 y 28°C. Para esto se dispone de fuentes térmicas de 20 y 25°C, encargadas de mantener la temperatura constante en los bordes del acuario según  la figura nº1.  Datos:  T1=25°C y T2=20°C       

  Figura nº1: dimensiones de la pecera con largo de paredes a Tº fija. T1=25°C y T2=20°C      

 

Marco Teórico 
  Se crea una matriz que discretizará el problema de la ecuación de difusión mas las 4  condiciones de borde 

    Ecuación nº1: Ecuación de Difusión   

 Método de diferencias finitas 
  A través de este método, se determina solo T(m,n) en forma discreta con un tamaño de la  malla:  Δx Δy  En el centro de cada nodo está la temperatura T(m,n).   

             

 Las primeras derivadas se aproximan   suponiendo perfil lineal,como:   

  Las segundas derivadas se calculan entonces como: 

 

  Análogamente según y:   

 

 

 Entonces la Ecuación diferencial de difusión se transforma en una ecuación algebraica, que  en el caso de Δx=Δy:   

    En  el  caso  de  los  bordes  sin  temperatura  fija,  la  ecuación  de  discretización anterior  se  modifica  de  tal  forma  que  el  nodo  adyacente,  se  pondera  por  dos  dado  que  el  área  de  contacto infinitesimal es mayor que para los otros nodos.       ...