Calculo de temperaturas matlab

Índice
Introducción 2
Calculo de temperaturas en placas 3
Fundamento teórico 3
Planteamiento de la solución analítica 4
Planteamiento de la solución numérica 5
Conclusiones 7
Bibliografía 7

INTRODUCCIÓN
La solución de cálculo de temperaturas en placas es sin duda un buen instrumento académico para poder explicar cómo es que se comportan losdiversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, tanto directos como iterativos, ya que el problema no es otra cosa que resolver ecuaciones lineales de muchas variables, y este a su vez matrices de 20x20 ó 30x30.



CALCULO DE TEMPERATURAS EN PLACAS
FUNDAMENTO TEORICO.
GENERALIDADES.- Calcular temperaturas en una placa ha sido un problema común en el estudioingenieril, por ello es de importancia tratar de desarrollar algunos tópicos de los métodos para solucionar el problema en estudio.
Debido a que las ecuaciones para el flujo de temperaturas de calor de estado de equilibrio en una placa son ecuaciones diferenciales parciales, no son validos los métodos analíticos para resolver este problema sin embargo puede usarse aproximaciones por diferenciasfinitas a las derivadas para establecer un sistema de ecuaciones que proporcione una aproximación a la temperatura en puntos en la placa. Si la región es rectangular y las condiciones en la frontera son condiciones de Dirichlet, es decir, que la temperatura(x) esta especificada en toda la frontera, dentro de la se colocan nodos que están uniformemente espaciados para tal caso puede utilizarseel método de Liebman, por otro lado se puede tener puntos de placa que no necesariamente estén equiespaciados, en este caso es de buen uso el método de elementos finito.

Nos interesa conocer la distribución de temperaturas Tx,y Fig. 1
Fig. 1 esquema simplificado del problema físico.

PLANTEAMIENTO DE LA SOLUCIÓN ANALÍTICA POR EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.
Para simplificar lasolución introducimos la transformación θ=T-T₁T₂-T₁ que es un término a dimensional.
Como no existen fuentes de calor interna y solamente tenemos las condiciones de Dirichlet (temperatura prescrita) en el contorno, la ecuación diferencial que rige el proceso está dado por:
∂2θ∂x2+∂2θ∂y2=0
Como la ecuación es de segundo orden en x e y se necesitan dos condiciones de frontera para cada una delas coordenadas, estas son:
θ0,y=0 θx,0=0
θL,y=0 θx,W=0
Se debe notar que mediante la transformación de la temperatura en un término a dimensional hace que tres de las condiciones de fronteras sean homogéneas y el rango de la variable θ este restringido entre 0 y 1.
Ahorase aplica el método de separación de variables expresado como el producto de dos funciones donde una depende de x y la otra de y, por eso se asume la existencia de una solución en la forma.
θx,y=Xx.Yy
Sustituyendo en la ecuación 1 y dividiendo por xy se obtiene:
-1d2XXdX2=1d2YYdY2
Ahora la ecuación diferencial si es separable, o sea el termino de la izquierda depende solamente de x y eltermino de la derecha depende solamente de y convertiendose en un problema de auto valores.
Finalmente aplicando las condiciones de contorno se obtiene los coeficientes que van apareciendo durante el cálculo y se llega a la solución deseada, donde la expresión para determinar la temperatura a dimensional en cualquier punto interior del dominio quedaría de la siguiente forma:θx,y=2πn=1∞-1n+1+1nsinnπxLsinhnπyLsinhnπWL
Esta solución es la solución analítica o exacta del problema pero si analizamos el primer paréntesis de la solución nos podemos dar cuenta que para valores impares de n se anula la serie y por tanto se suma en ese paso el valor de cero, para mejorar este algoritmo en aras de implementarlo computacionalmente se sugiere que la expresión quede de la siguiente forma:...