Calculo de teoría estática

Estática
Equilibro de cuerpos Rígidos El término equilibrio implica ya sea que un objeto está en reposo o que su centro de masa se mueve con velocidad constante. En este capítulo se tratará sólo con el primero de estos casos. El equilibrio estático es una situación común en la práctica de la ingeniería y los principios implicados son de especial interés para los ingenieros civiles, arquitectos eingenieros mecánicos. Los lectores que sean estudiantes de ingeniería en el futuro sin duda tomarán cursos para reforzar sus conocimientos de estática. Una condición necesaria para el equilibrio es que la fuerza que actúa sobre el centro de masa de un objeto sea cero. En este capitulo, los objetos se tratarán como si fueran partículas concentradas en su centro de masa. Si la fuerza neta sobre lapartícula es cero, la partícula permanece en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se mueve con velocidad constante (si originalmente estaba en movimiento). La situación con objetos reales, los cuales no son puntuales sino extendidos, se complica; más aun cuando éstos no pueden tratarse como partículas. Para que un objeto extendido esté en equilibrio estático la fuerza sobre él debe sercero y la torca o momento de torsión alrededor de cualquier origen debe ser también cero. Con el propósito de establecer si un objeto está en equilibrio o no, se debe conocer su tamaño y forma, las fuerzas que actúen sobre sus diferentes partes y los puntos de aplicación de las diversas fuerzas. Las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido Considere una fuerza aislada F que actúa sobre un objetorígido, como se muestra en la figura 1.

Figura 1. El efecto de la fuerza depende del punto P donde se aplica. Si r es el vector de posición de este punto relativo al origen O, el momento de torsión asociado a la fuerza F alrededor de O está dado por la ecuación

188

τ= r×F
Es decir ˆ ˆ ˆ τ = (yFz - zFy )i + (zFx - xFz )j + (xFy - yFx )k

(1.1)

(1.2)

el vector τ es perpendicularal plano formado por los vectores r y F. Además, el sentido de τ está determinado por el sentido de la rotación de F. Con la regla de la mano derecha se puede determinar la dirección de τ : cierre su mano derecha de manera tal que sus dedos den vuelta en la dirección de rotación que F tiende a dar al objeto; su pulgar apunta entonces en la dirección de τ . Por lo tanto, en la figura 1, τ estádirigida hacia afuera del papel. Como se puede ver en la figura 1, la tendencia de F a hacer girar el objeto alrededor de un eje que pasa por O. Depende del brazo de palanca d ( d = rsenθ ), así como de la magnitud de F. Es decir la magnitud del momento de torsión es
τ = rFsenθ

(1.3)

Supongamos ahora que dos fuerzas, F1 y F2, actúan sobre un objeto rígido. Las dos fuerzas tendrán el mismoefecto sobre el objeto sólo si tienen la misma magnitud, la misma dirección y la misma línea de acción. En otras palabras, dos fuerzas F1 y F2 son equivalentes si y sólo si F1 = F2 y si las dos producen el mismo momento de torsión en torno de cualquier punto dado. Dos fuerzas iguales y opuestas que no son equivalentes se ilustran en la figura 2. .

Figura 2. La fuerza dirigida hacia la derecha tiendea hacer girar al objeto en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor de un eje perpendicular al diagrama y que pasa por O, en tanto que la fuerza dirigida hacia la izquierda tiende a hacerlo girar en el sentido contrario en torno de ese mismo eje. Suponga que un objeto puede girar alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, como en la figura 3.

189Figura 3. Dos fuerzas iguales y opuestas actúan en la dirección indicada, de manera tal que sus líneas de acción no pasan por el centro de masa. Un par de fuerzas que actúan de este modo forman lo que se conoce como un par. (Las dos fuerzas mostradas en la figura 2 también forman un par). Puesto que cada fuerza produce el mismo momento de torsión, Fd, el momento de torsión neto tiene una magnitud...