calculo de variaciones

Cálculo de variaciones
1. Introducción al Cálculo de Variaciones
El cálculo de variaciones data del siglo XVII. Uno de los trabajos pioneros en este campo fue el
de John Bernoulli, realizado en 16961, quien resolvió el problema de la braquistócrona. Dicho
problema consiste en determinar la trayectoria más rápida de un pequeño objeto entre dos
puntos, bajo la influencia de la gravedad. Elcálculo de variaciones aplicado al análisis
económico recién se inicia a partir de la década de los veinte con los trabajos de Evans2,
Ramsey3 y Hotteling4 5. El problema de cálculo de variaciones, en términos generales, puede ser
planteado de la siguiente forma:
TP

PT

TP

TP

PT

TP

PT

TP

PT

PT

T

Maximizar V [ y ] = ∫ f ( t , y ( t ) , y´( t ) ) dt
0

sujeto ay ( 0 ) = y0

( y0 dado )
( yT , T dado )

y (T ) = yT

En este caso sólo se ha tomado en cuenta una variable

( y) ,

(1)

y para que el problema tenga

solución se asume que la función intermedia f ( • ) es integrable con respecto al tiempo, y que
“y” es continua y diferenciable. Una aplicación clásica del cálculo de variaciones a la teoría
económica la constituye el modelo deEvans6, que describe el comportamiento de una firma
monopolística. En dicho modelo se asume que un monopolio posee una función de costos
cuadrática, y la demanda depende linealmente del precio ( P ( t ) ) y la tasa de variación del
TP

PT

precio ( P´( t ) ) de esta forma:

C (Q ) = α Q2 + β Q + γ
Q = λ P ( t ) + ϕ P´( t ) + η

(α , β , γ
( λ , ϕ ,η > 0 )

> 0)

(2)

A partir delas funciones de demanda y costo se determina la función de beneficios, mediante la
diferencia entre los ingresos y los costos:

π = P ( t ) Q ( P ( t ) , P´( t ) ) − C ( Q ( P ( t ) , P´( t ) ) ) = π ( P ( t ) , P´( t ) )

(3)

El objetivo del monopolista es determinar la evolución del precio que maximice los beneficios
totales a lo largo del período de producción ( t ∈ [ 0, T ]) . Losbeneficios totales están

determinados por la suma de los beneficios en cada instante del tiempo. Como el tiempo es
continuo, dicha suma se expresa a través de una integral. De esta forma, el problema de
optimización sería:
1Para

mayor detalle, ver Kline, M., Mathematics: A cultural Approach, Mass.: Addison-Wesley 1962.
G.C., “The Dyamics of Monopoly”, en American Mathematical Monthly,febrero 1924, pp. 77-83.
3Ramsey, Frank P., “A Mathematical Theory of Savings”, en Economic Journal, Oxford: Blackwell Publishers,
diciembre 1928, pp. 543-559.
4Hotelling, Harold, “The Economics of Exhaustible Resources”, en Journal of Political Economy, Chicago: The
University of Chicago Press, abril 1931, pp. 137-175.
5Una explicación detallada de estos trabajos puede encontrarse en Chiang,Alpha, Elements of Dynamic Optimization,
3a. edición, Nueva York: MacGraw Hill, 1992.
6 Evans, G.C., op. cit.
TP

PT

2Evans,
TP

PT

TP

PT

TP

PT

TP

PT

TP

PT

T

Maximizar Π [ P ] = ∫ π ( P, P´) dt
0

P ( 0 ) = P0

sujeto a

P (T ) = PT

( P0 dado )
( PT , T dado )

(4)

Como se mencionó, el problema básico del cálculo de variaciones a resolver esel siguiente:
T

Maximizar

V [ y ] = ∫ f (t , y (t ), y ′(t ))dt
0

sujeto a

y (0 ) = y 0 ( y 0 dado )

(5)

y (T ) = yT ( yT dado )
Para que dicho problema tenga solución es necesario que se cumplan dos condiciones: (1) deben
existir las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función intermedia f (•); y, (2)
deben existir las derivadas de primer y segundo orden dela función y (t ) que depende del

tiempo7. El resultado del problema (5) consiste en una trayectoria y ∗ (t ) que optimiza el
funcional objetivo V [ y ] . Sin pérdida de generalidad, inicialmente supondremos que todos los
problemas de cálculo de variaciones consisten en maximizar el funcional objetivo V [ y ] .
Posteriormente, cuando se expliquen las condiciones de segundo orden, se...