Calculo De Varias Variables

APUNTE DEL ALUMNO
SIGLA: MAT400
NOMBRE: CALCULO EN VARIAS VARIABLES
CRÉDITOS (HORAS PEDAGÓGICAS): 6
REQUISITOS: MAT390
VIGENCIA DEL PROGRAMA: MARZO DE 2006
ASISTENCIA OBLIGATORIA

INTRODUCCIÓN
Propósito y Descripción de la Asignatura
El Cálculo Integral y Diferencial en Varias Variables es una rama de la Matemática
de gran riqueza, tanto en su contenido como en las posibilidades deaplicación a los
distintos ámbitos del saber. Su propósito esta dado por la necesidad de dotar a los
estudiantes de los fundamentos teóricos y de las herramientas que le permitan
modelar y resolver problemas de aplicación especialmente del área de la Ingeniería.

Objetivos de la Asignatura
El estudio de funciones que poseen mas de una variable nos permiten modelar
problemas de la vida diaria,cuyo analisis se puede realizar utilizando el calculo
diferencial e integral

Objetivos Pedagógicos Específicos
Conocer y aplicar las propiedades de la derivación de funciones de varias
variables a la resolución de problemas de optimización en el ámbito de las
ciencias de la ingeniería.
Reconocer y aplicar los métodos y técnicas de integración de funciones en
una variable.
Aplicar laspropiedades de la integral definida a la resolución de problemas
de aplicación en el ámbito de la Ingeniería.
Relacionar los conceptos fundamentales de la integración de funciones de
una variable como aproximación a la resolución de ecuaciones diferenciales.

Departamento de Matemática, Estadística y Física
MAT400

UNIDAD 1
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
INTRODUCCIÓN las funcionesnos sirven para representar situaciones de la vida

real en forma algebraica, y poder así realizar un estudio de esta, para solucionar algún
problema particular, dependiendo de las variables que tenga ese problema podemos
utilizar funciones de una o mas variables.

OBJETIVO GENERAL
Determinar la continuidad de una función en varias variables

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Determinar Dominio yRecorrido de Funciones de Varias Variables.
Determinar la gráfica de una Superficie usando curvas de nivel.
Establecer la continuidad de Funciones de Varias Variables.

SÍNTESIS DE CADA SESIÓN
Clase 1:
Clase 2:
Clase
Clase
Clase
Clase

3:
4:
5:
6:

El espacio ℜn. Producto escalar. Topología en ℜn
Funciones de Varias Variables. Funciones Vectoriales de ℜm en ℜn. Dominio y
Recorrido.Curvas de Nivel y gráficas de superficies conocidas.
Ejercicios
Límite de funciones de Varias Variables. Límites iterados.
Continuidad de funciones de Varias Variables.
Ejercicios

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MAT400

DESARROLLO DE CONTENIDOS
n
El Espacio IR

IR n = {X = ( x1 , x2 ,..., xn ) / xi ∈ IR}

,

es

un

espacio

vectorial

sobre

IR.

nX = ( x1 , x2 ,..., xn ) es un vector de IR y recibe el nombre de n-upla.

Adición: IR n xIR n → IR n / ( X ,Y ) → X + Y es
X + Y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) .

suma

de

X

e

Y,

donde

Producto por Escalar: IR xIR n → IR n / ( α , X ) → α ⋅ X = ( α ⋅ x1 ,α ⋅ x2 ,...,α ⋅ xn ) ( IR n ,+ ,⋅ )
es un espacio vectorial con vector nulo θ = ( 0,0,...,0 ) . Para X = ( x1 ,x2 ,..., xn ) ∈ IR n , el
opuesto de X, -X, es el vector − X = ( − x1 ,− x2 ,..., xn ) .
n
Producto Escalar en IR
Si X = ( x1 , x2 ,..., xn ) , Y = ( y1 , y2 ,..., yn ) ∈ IR n . El producto escalar

X • Y (también

denotado por X ,Y es el número real definido por X • Y = x1 y1 + ... + xn yn
Propiedades del Producto Escalar
Para todo X ,Y , Z ∈ IR n α , β ∈ IR ; se tiene:
1

X •Y = Y •X

2

X•X ≥0

3

X•X =0⇔ X =0

4

X • ( αY + β Z ) = α ( X • Y ) + β ( X • Z )

Norma Euclideana
n
Para X ∈ IR se define X = ( X ⋅ X )1 / 2 , y se llama la NORMA EUCLIDEANA del
vector X.
Teorema 1: (Desigualdad de Schwarz)
Para todo ( X ,Y ) ∈ IR n × IR n se tiene: X ⋅ Y ≤ X ⋅ Y
Ejemplo 1: Sea f : IR 3 → IR tal que;
 xyz ⋅ cos( x ) /( x 2 + y 2 + z 2 ) si( x , y , z ) ≠ ( 0...