Calculo de varias variables

Ejercicios resueltos Calculo Multivariable

R. Venegas C.

Prefacio
Este material surge en las clases de ayudantía de Calculo multivariable a alumnos de Ingeniería en Acústica e Ingeniería en Biotecnología impartidas por R. Venegas durante el año 2003 en la Universidad Pérez Rosales. Consiste en las tareas enviadas a los alumnos como parte de dicha ayudantía, con sus respectivascorrecciones y desarrollos de los ejercicios, algunos de estos requieren el uso de ordenador, se han realizado los algoritmos en Matlab que solucionan estos problemas. De ninguna manera éste material pretende substituir la literatura tradicional en la materia, sólo pretende ser una humilde ayuda en la formación de nuevos ingenieros. En la tarea 1 se aborda problemas de funciones bi y trivariables, curvas ysuperficies de nivel, funciones vectoriales y operaciones referentes a ellas En la tarea 2 se evalúa el calculo de derivadas parciales, direccionales, vector gradiente y sus aplicaciones (Plano tangente , recta normal, etc...) En la tarea 3 se analizan problemas de optimización y aplicaciones de integrales dobles En la tarea 4 se tratan aplicaciones de integrales dobles y triples La tarea 5consiste en problemas de teoría de campo y los teoremas integrales. Cabe destacar el gran aporte de M. P. Raveau en la realización de estas notas, ella desarrolló y tipeó algunos de los ejercicios aquí expuestos. Este material no es definitivo y se irá complementando, se agradecerá hacer ver alguna falla y consideraciones al respecto, así como la ayuda de lectores interesados. Rodolfo Venegas Castillorodolfovenegas@vtr.net Santiago 2004

Nota: Esta obra puede ser reproducida total y parcialmente con el permiso del autor y nombrando explícitamente la fuente

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Indice
Tema: Página

Prefacio _______________________ 2 Tarea 1 - 2003 _______________________ 4 Tarea 2 - 2003 _______________________ 17 Tarea 3 - 2003 _______________________ 25 Tarea 4 - 2003 _______________________ 35 Tarea5 - 2003 _______________________ 43 Fuentes de Información_________________ 54

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TAREA 1 - 2003
1.-Indique el dominio y grafique mediante ordenador las curvas de nivel para al menos 5 valores representativos. 3 a) z = y − x 2 b) f ( x, y ) = arcsin ( y − x ) Solución
a)

z = y − x3 La función no se indetermina en ningún punto, luego el dominio es Dom(z) : {(x,y)/x ∈ ℜ ∧ y ∈ ℜ } Paraencontrar las curvas de nivel debemos igualar la variable z a una constante c La función resultante está dada por z = y − x3

c = y − x3 y = c + x3

El código en Matlab para generar ésta gráfica es el siguiente

close all clc x=-2:0.1:2;
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y=-2+x.^3; y1=-1+x.^3; y2=x.^3; y3=1+x.^3; y4=2+x.^3; plot(x,y,x,y1,x,y2,x,y3,x,y4) axis([-2 2 -10 10]) title(['grafica curvas de nivel ejercicio 1.aTarea 1 ']) legend('c = -2','c = -1','c = 0','c = 1','c = 2',2)
La función ezmeshc(f,domain) de Matlab nos permite visualizar la superficie y sus curvas de nivel, el usuario ingresa la función y el dominio en el cual desea analizarla La sintaxis de la función es la siguiente para nuestro en problema en particular ezmeshc(' y-x^3 ',[-2,2,-10,10]) Que entrega como resultado la siguiente gráfica

b)f ( x, y ) = arcsin y − x

(

2

)

Como bien sabemos el argumento de la función arcoseno debe estar entre los valores -1 y 1, por ello Dom f (x, y ) : { ( x, y ) / y − x 2 ≤ 1 }

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f ( x, y ) = arcsin( y − x 2 ) c = arcsin( y − x 2 ) sen(c) = y − x 2 y = x 2 + sen(c) Teniendo en cuenta que el recorrido de la función va entre –pi/2 y pi/2, los valores que tome c está restringidos.Las curvas de nivel se pueden apreciar en la siguiente gráfica

El código en Matlab para generar la gráfica es el siguiente: close all clc x=-5:0.01:5; y=x.^2+sin(-pi/2); y1=x.^2+sin(-pi/4); y2=x.^2; y3=x.^2+sin(pi/4); y4=x.^2+sin(pi/2); figure(1) plot(x,y,x,y1,x,y2,x,y3,x,y4) axis([-5 5 -1.5 1.5]) title(['grafica curvas de nivel ejercicio 1.b Tarea 1 ']) legend('c = -pi/2','c = -pi/4','c =...