Calculo De Volúmenes De Sólidos De Sección Conocida.

CALCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE SECCIÓN CONOCIDA.

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso deeste tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

DEFINICIÓN DEL VOLUMEN DE UN SOLIDO: El volumen de un sólido con área transversal conocida e integrable A(x) donde A es continua en a,b (desde x = a hasta x = b), es:
V=lim∆→0i=0nA(wi)∆ix

V=abA(x)dx

DEFINICIÓN DEL VOLUMEN DE UN SOLIDO: El volumen deun sólido con área transversal conocida e integrable A(x) donde A es continua en a,b (desde x = a hasta x = b), es:
V=lim∆→0i=0nA(wi)∆ix

V=abA(x)dx

Comúnmente a esta integración se le denomina “método de las rebanadas”. El proceso es semejante al rebanado de una hogaza de pan en muchas porciones muy delgadas de modo que todas las porciones juntas constituyen la hogaza completa. Enla figura siguiente se observa este método.


b
dx
a
x
A(x)
b
dx
a
x
A(x)

¿Qué es el volumen?
Comenzamos con sólidos sencillos denominados cilindros rectos de los cuales se muestran en la figura 1. En cada caso el sólido se genera moviendo una región plana (la base) a lo largo de una distancia h en dirección perpendicular a esa región. Y encada caso el volumen del solido se define como el área A de la base por la altura h; esto es,

V=A∙h

METODOS DE REVOLUCION.

METODO DE LOS DISCOS: Si una región plana esta completo en un lado de una recta fija en su plano y se hace girar alrededor de esa recta, genera un sólido de revolución. La recta se denominaeje del solido de revolución.


Figura 3

Figura 3

Figura 4

Figura 4

Figura 2

Figura 2



En las figuras mostradas, si la región acotada por un semicírculo y su diámetro se hace girar alrededor de ese diámetro, tenemos un sólido esférico (figura 2). Si la región dentro de un triangulo rectángulo se hace girar alrededor de uno de sus catetos, genera un sólido cónico(figura 3). Y cuando una región circular se hace girar alrededor de una recta en su plano y que no interseque al círculo (figura 4), tenemos un toro (dona). En cada caso es posible representar el volumen como una integral definida.
TEOREMA 1:
Si una función es continua en el intervalo cerrado a,b y suponga que fx≥0 para toda x en a,b. Si S es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor deleje x la región limitada por la curva y=fx, el eje x y las rectas x=a, x=b, y si V unidades cubicas es el volumen de S, entonces

V=lim∆→0i=0nπf(wi)²∆ix

V=πabA(x)²dx

TEOREMA 1:
Si una función es continua en el intervalo cerrado a,b y suponga que fx≥0 para toda x en a,b. Si S es el sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y=fx, el eje x ylas rectas x=a, x=b, y si V unidades cubicas es el volumen de S, entonces

V=lim∆→0i=0nπf(wi)²∆ix

V=πabA(x)²dx

Figura 6

Figura 6

Figura 5

Figura 5

EJERCICIO 1.
Calcule el volumen del solido de revolución generado cuando la región acotada por la curva y=x², el eje x y las rectas x=1 y x=2 se gira alrededor del eje x.
EJERCICIO 1.
Calcule el volumen del solido de revolucióngenerado cuando la región acotada por la curva y=x², el eje x y las rectas x=1 y x=2 se gira alrededor del eje x.

SOLUCION:
Diríjase a la figura 5, la cual muestra la región y un elemento rectangular de área, la figura 6 muestra el sólido de revolución y un elemento de volumen. La medida del volumen del disco está dado por:
SOLUCION:
Diríjase a la figura 5, la cual muestra la región y un...