Calculo De Volumenes Apartir Del Teorema De Gauss

Antes de aplicar estos teoremas la forma mas sencilla para calcular volúmenes es ultilizando integrales dobles
1. Calcular el volumen de la región limitada por el cilindro de ecuación: Contenido
INTEGRALES: CÁLCULO DE VOLÚMENES
Cálculo de volúmenes por integración directa
En este nivel introduciremos el método más general para el cálculo de volúmenes en el espacio. Del mismo modo quehacíamos en el caso de superficies en el plano, el método para calcular volúmenes es integrar la función 1 (integral en sentido de , o sea, integral triple) en el dominio determinado, en este casonuestro volumen.
Por lo tanto, otra vez la dificultad se encuentra en como parametrizar este volumen, más que como integrar.
Si queremos conocer el volumen de la región V, tendremos:

Del mismo modoque en integrales dobles, a veces nos es más fácil hacer un cambio de coordenadas. En tal caso, tendremos que multiplicar por el determinante de la matriz Jacobiana. A continuación presentamos loscambios (y sus determinantes) más típicos en el cálculo de volúmenes, las esféricas y las cilíndricas:
Esféricas

 
Cilíndricas

Ejemplo 1Vamos a calcular el volumen delimitado por el paraboloide deecuación  i el plano .

Por la simetría del problema consideraremos coordenadas cilíndricas. Tenemos:

   con    
Teninedo en cuenta que el determinante del cambio es r, tenemos:

CÁLCULO DEVOLÚMENES A PARTIR DEL TEOREMADE GAUSS
De la misma forma que hacíamos con el teorema de Green, utilizaremos una potente herramienta del cálculo integral para calcular volúmenes, el teorema de ladivergencia o teorema de Gauss.
Este teorema nos dice que si tenemos un sólido, D, limitado por una superficie cerrada, S, y F(x,y,z) un campo vectorial, entonces:

donde, si  , entonces , es ladivergencia del campo.
Recordamos que para calcular el primer término, si r(u,v) es una parametrización de la superficie,

donde  denota el producto vectorial de las derivadas de la parametrización según...