Calculo De Volumenes Mediante Integrales

2 Cálculo de volúmenes.

|Volúmenes de sólidos obtenidos por revolución |

Cuando una región en el plano rota alrededor de una línea recta tal quea lo suma esta línea es frontera de la región (no la intersecta) se produce un sólido tridimensional que se llama sólido de revolución.
La recta alrededor de la cual rota la región se llama eje derotación o de revolución.
[pic]

MÉTODO DE DISCOS:
Inicialmente la rotación será alrededor de una de los ejes coordenados
La región limitada por la gráfica de la curva [pic]las rectas [pic][pic]eleje [pic]rota alrededor del eje [pic].
Se hace una partición del intervalo [pic]para un subintervalo [pic]se toma [pic]
Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son discoscirculares de radio [pic]. Así el volumen de un disco será [pic]de modo que [pic]
Al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero [pic]
[pic]

Ejemplo 1: Utilizando rotación de unasemicircunferencia alrededor del eje [pic]se puede verificar
que el volumen de una esfera es [pic]

Tomando la parte superior de la circunferencia [pic][pic]y haciendo rotar la región limitada por lasemicircunferencia y el eje [pic]alrededor del eje [pic]se obtiene [pic]
[pic]

Ejemplo 2: La región limitada por la curva [pic]el origen , la recta [pic]el eje [pic]rota
alrededor del eje [pic].Encontrar el volumen del sólido obtenido.
[pic]

Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son perpendiculares al eje [pic].
Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es[pic]para [pic]con lo cual [pic]
[pic]

MÉTODO DE CORTEZAS Ó CAPAS CILÍNDRICAS:
Supongamos que se quiere rotar la región limitada por la curva [pic]y el eje [pic]alrededor del eje [pic]
[pic]
Si sefueran a usar arandelas de espedor o ancho [pic]se tendría que buscar con la simetría que tiene la curva con respecto a la recta x=2 , cúal es el radio exterior en función de [pic]y cúal el exterior...