calculo del producto de inercia

CALCULO DEL PRODUCTO DE INERCIA
Comentarios generales
        Considérese un cilindro homogéneo y equilibrado al que se le colocan  dos pesos iguales, separados 180º, y equidistantes del CG, a lo largo de la altura del cilindro. La suma de dichos pesos, no altera el CG del cilindro, y el cilindro permanece equilibrado estáticamente. No obstante, si hacemos girar el cilindro alrededor de su ejeZ, la fuerza centrífuga actúa sobre ambos pesos, haciendo que aparezca un par de fuerzas. Si el cilindro está montado en soportes, este par provoca una fuerza sinusoidal ejercida sobre los soportes, durante el giro del cilindro. Si el cilindro gira en el espacio, el eje de rotación se desplaza a una posición donde las fuerzas centrífugas se igualan (en efecto, se desplaza ligeramente hacia lospesos de desequilibrio). A esto, se le llama producto de inercia.
        Básicamente, el producto de inercia (POI), es una medida del desequilibrio dinámico. El POI se expresa en las mismas unidades que el momento de inercia, pero tiene una mayor relación con el CG que el momento de inercia. El producto de inercia no se suele enseñar en las asignaturas de dinámica de las titulaciones deingeniería, por lo que muchos ingenieros no estan familiarizados con él.
Calculo del producto de inercia
        Un cilindro equilibrado gira sobre unos soportes. Un peso simétrico, cuyo POI es cero, se monta en el cilindro. El producto de inercia debido a este peso es:
Pzx = M Z X = 0.01 x 2 x 1 = 0.02 slug ft²
donde M = masa del peso = 0.01 slug 
X = radio de CG del peso = 1 ft 
Z = altura entre elCG del cilindro y el CG del peso = 2 ft
        Este POI está en el plano XZ del cilindro. Si se añadiera un peso en el eje Y, en una posición por encima del CG del cilindro, el valor de Pzx no cambiaria, ya que la coordenada X de este peso seria cero. La segunda coordenada del POI, Pzy, se calcularia asi:
Pzy = M Z Y = 0.01 x 2 x (-1) = -0.02 slug ft²
donde M = masa del peso = 0.01 slug
Y =radio del CG del peso = -1 ft
Z = altura entre el CG del cilindro y el CG del peso = 2 ft
Notese que el valor de Pzy es negativo
Conversión de cartesiano a polar
        Los ejemplos anteriors, eran casos especiales en los que el desequilibrio se localizaba directamente en los ejes X o Y. Cuando esto ocurre, las herramientas matemáticas se simplifican, porque el desequilibrio se puede analizarcomo un problema de dos dimensiones sobre un plano. Un objeto real, generalmente contiene un desequilibrio que no cae directamente sobre ningun eje. No obstante, este desequilibrio se puede convertir en componentes cartesianas que caen directamente sobre los ejes, para asi poder simplificar los cálculos.

        El objeto real a probar (primer dibujo), tiene un desequilibrio equivalente que sepuede simular mediante un único peso en cada uno de los planos (segundo dibujo). La diferencia angular entre planos puede ser cualquiera. Como una ayuda al análisis, cada peso se puede reemplazar por dos pesos colocados en los ejes X e Y (tercer dibujo), con lo que hacemos una conversión a coordenadas cartesianas. Cada plano puede ser analizado por separado.
        Al final de los cálculos, Pzx yPzy pueden volver a convertirse a coordenadas polares, si se desea. El proceso para estas transformaciones de cartesiano a polar, se describen en la sección del documento que trata del centro de gravedad. El producto de inercia de las dos componentes en el ejemplo anterior, produce una resultante Pzr en el plano ZR, que pasa por el desequilibrio equivalente y por el eje Z.
Pzr = SQR (Pzx² +Pzy²)
donde SQR = Raiz cuadrada
Ángulo entre la resultante y el eje X = arcTAN (Pzy / Pzx)
Diferencia entre el offset del CG y el producto de inercia
        La figura ilustra la diferencia entre el desequilibrio estático (offset del CG) y el dinámico (producto de inercia). Los pesos son de 5 lb.

Pzx = 0 lb in²
CGx = 25 lb in²
CGz = 0
Añadir un peso en el plano del CG => Desequilibrio...