Calculo Dif

CÁLCULO DIFERENCIAL ( 4101 Y 4102 )

La recta numérica.- recta sobre la que se sitúan los números reales. Se dice que la recta es densa porque cualquier punto de ellla se corresponde con un número rea y viceversa.

Cuando asociamos un punto de esta recta numérica con un número real, al número se le llama coordenada del punto.

Está formada de la siguiente manera; a partir del cero hacia laderecha se ubican los números positivos y hacia la izquierda los números negativos.

NEGATIVOS POSITIVOS

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Los números reales.- se denotan por R y es el conjunto que contiene a los subconjuntos de los númerosnaturales (N, N0 naturales más el cero), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (QC).

N N0 Z Q R QCR

También existen los números complejos C los cuales están formados por una parte real y otra imaginaria, que a su vez contienen al conjunto anterior.

Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar geométricamente por medio de puntosen la recta numérica que se extiende desde menos infinito (-) hasta más infinito ().

Como podemos observar los números reales tienen una relación de orden, es decir, para dos números reales cualesquiera distintos entre si, uno es mayor que el otro; para esto se utilizan los siguientes símbolos de desigualdad:

<menor que >mayor que = igual que ≤menor igual que≥mayor igual que

- -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
a b c d

Axiomas

Dentro de los números reales se definen dos operaciones la suma y el producto, las cuales cumplen con los siguientes axiomas:

Dados a, b y c númerosreales, se tiene:

1. Axioma Clausurativos.-
la suma a + b y el producto axb son también reales

2. Axioma Conmutativos.-
a) a + b = b + a b) a x b = b x a

3. Axiomas Asociativos.-
a) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c b) a x ( b x c )= ( a x b ) x c

4. Axiomas Distributivos.-
a) a x ( b + c ) = a x b + a x c b) ( a + b ) x c = a x c + b x c5. Axiomas sobre existencia de idénticos
a) Existe un número real, el número cero, tal que a + 0 = 0 + a = a para todo real a de R.
b) Existe un número real, el número uno, tal que a x 1 = 1 x a = a para todo a de R.
Nota.- los números 1 y 0 reciben el nombre de idénticos o neutros.

6. Axioma sobre existencia de inversos
a) Para todo número real a existe unnúmero real llamado el inverso aditivo de a, simbolizado por –a , tal que a + ( - a ) = ( - a ) + a = 0
b) Para todo número real a 0 existe un número real llamado el inverso multiplicativo de a, simbolizado por 1a , tal que a x 1a= 1a x a=1

La existencia de inversos permite definir la sustracción y la división:
a – b = a + (-b) ab=a x 1b

1. ab estadefinido si y sólo si b 0
2. Como extensión de la definición de sustracción a – b – c = a + ( - b ) + ( - c )

Teoremas

A. Propiedad de la igualdad.- si a, b y c representan números reales y si a = b entonces:
i. a + c = b + c y a – c = b – c propiedad de adición para todo c
ii. a x c = b x c para todo c propiedad de multiplicación
iii. ac= bc para todoc 0 propiedad de multiplicación
iv. Si además a = b y b = c, entonces a = c propiedad transitiva
B. Para todo número real a, a x 0 = 0
C. Si a y b son números reales y a x b = 0, entonces a = 0 ó b = 0
D. Para todo número real a, a ( - 1 ) = - a
E. Si a y b son números reales, entonces ( - a ) ( - b ) = a x b
F. Si a, b y c son números...