CALCULO DIFERECNCIAL E INTEGRAL

NOMBRE DE LA ASIGNATURA O UNIDAD DE APRENDIZAJE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
SESION 1

1. NÚMEROS REALES

Al conjunto formado por todos los números de la recta se le llama Conjunto de números reales, y se denota con la letra R.

El concepto de número real R surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios (1000 a.c.). El desarrollo de la noción fuepor parte de los egipcios, que declararon la existencia de números irracional.

Los números reales se pueden expresar por un número entero (2,154, 15) o decimal (4.32, 345.654, 1548,38758) es decir que abarca los números racionales.
Los números racionales se pueden representar como el cociente de dos números enteros con denominador distinto de cero.

Los números irracionales son los que nopueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador distinto de cero.


1.1. Clasificación y propiedades de los números reales

Los números reales se clasifican en:

Naturales N: Son los enteros positivos excluyendo el cero, es decir son los que utilizamos para contar elementos de un conjunto, en la niñez nos enseñaron a contar objetos y siempre empezábamos con el 1 (1balón, 2 balones, 3 balones, etc.).

N= {1,2,3,4,5,6,7,……..}

Enteros Z: Son todos los enteros positivos y negativos incluyendo el cero. Estos números los podemos ver claramente en la recta real

Z={……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}





Racionales Q: Son los que se pueden representar por medio de una fracción, una manera más coloquial de definirlo son los quebrados onúmeros fraccionarios, con la restricción de que el denominador debe ser diferente de cero.

Q={……, -3/4, -1,2 , 5/4, 47,3,…….}



Irracionales I: Son aquellos que no se pueden expresar como el cociente de números enteros. Por ejemplo: π se emplea para calcular el perímetro de una circunferencia o el área de un círculo, el número e que es la base del logaritmo natural, la raíz cuadrada que NOson cuadrados perfectos (2,3,5,6,7,8….), en pocas palabras para los números irracionales su representación decimal es infinita.

I={……, - , π, e, , ……..}

Finalmente podemos decir que los números reales son los elementos del conjunto formado por la unión de los Racionales Q y los Irracionales I. Así de fácil!!!!




1.2. Interpretación geométrica de los números reales

Podemosrepresentar el conjunto de los números reales en una recta numérica llamada recta real, a cada número real le corresponde un punto en la recta, y a cada punto en la recta le corresponde un número real.

El conjunto de números enteros lo representamos sobre una recta horizontal, primero fijamos el origen llamado cero y separamos por intervalos de igual amplitud igual a la unidad, a la derecha del númerocero se encuentran los enteros positivos y ala izquierda del cero los enteros negativos.





Para representar el conjunto de los números racionales procedemos de manera análoga a los números enteros, representamos en una recta horizontal, dividimos la unidad en tantas partes como indica el denominador y tomamos tantas partes como lo indica el numerador. Por ejemplo si tenemos 2/5dividimos en 5 partes la unidad y tomamos 2










Otro ejemplo si queremos representar 9/5 que es igual a 1 + 4/5 dividimos en 5 partes y tomamos 4






Si tenemos el número racional en decimales entonces lo representamos en la recta real de manera aproximada.

Para representar los números irracionales de la forma donde n pertenece al conjunto de los naturales emplearemos elteorema de Pitágoras, por ejemplo: para representar gráficamente , formaremos un triángulo rectángulo de cateto 1 y 1 así la hipotenusa será tomamos esta medida y lo trasladamos a le recta horizontal con la ayuda de un compas.


Otro ejemplo formamos un triángulo donde los catetos son y y trazamos a la recta horizontal.











Si tenemos otro número irracional como π o...