Calculo diferecnias maximos

1.- Ejercicio
Un Edificio Debe Apuntalarse Con Una Viga Que Pasarse Un Muro Paralelo De 10 Pies De Altura Y 8 Pies De Distancia Del Edificio. Encontrar La Longitud Posible De Esa Viga.

Teorema De Pitágoras
L=√(X+8)2+Y2

Teorema De Tales
Y/10= (X+8)/X
Y= ((X+8)/X) 10

Se Sustituye Y = (X+8)/X (10) En El Teorema De Pitágoras
L=√(X+8)2+ ((X+8)/X) 102
L=√(X+8)2+ ((X+8)/X) 100
L=(√(X+8)2x2+(X+8)2*100) / X2
L= ((√(X+8)2 (X2+100)) / X2
L= (√(X+8)2(X2+100)) / √X2
L= 1/X √(X+8)2(X2+100)
L= 1/X (X+8) √(X2+100)
L= ((X+8) √(X2+100)) / X Ecuación De La Longitud De La Viga

Se Deriva (DL: derivada de longitud, DX: derivada de x)
DL/ DX= X {(X+8) (½ (X2+ 100)- ½ (2x))+( √X2+ 100) (1)}- (X+8) √(x 2)+100(1)
X2

DL/ DX = X{((x+8)2x/2√x2+100) + √X2+100} – (X+8) √X2 +100
X2
DL/ DX = X {((X+8) (2x)+ 2√X2 +100 √X2+100) / 2√X2+100} – (X+8) √X2 +100
X2
DL/ DX= X {((X+8) (2x) +2 (X2 +200)) / 2√X2 +100} –(X+8)√X2 +100
X2
DL/ DX= {(4x3 + 16x2 +200x) / 2 √X2 + 100} – (X+8) √X2 +100X2

DL/ DX= √X2 +100 {((4x3+16x2+200x) / 2√X2 +100)) – (X+8)√X2+100}
X2

DL/ DX= X3+16x2+200x-2x3-1600-16x2-200x
X2

DL/ DX= 2x3-1600
X2
Se Iguala A Cero
0 = (2x3 -1600) / X2
2x3= 1600
X = ∛(1600/2)
X = 9.28

Se Sustituyen LosDatos En La Ecuación De La Longitud

L= √(X+8)2 + (X+8)2 * 100
L= 25.40 Pies

La longitud de la viga es igual a 25.40 pies
 
2.-Ejercicio
Se Desea Construir Un Cilindro Circular Recto De Tal Forma De Que El Área Del Material Que Se Utiliza En La Base Y En La Pared Circular Sea Lo Mínimo Si El Volumen Del Cilindro Este Fijo En 1000cm3

At = área del circulo + área del rectánguloAt=πr^2+2πrh (ecuación de área total)
Vol. =πr^2h

Se despeja la altura
Vol. =πr^2h
1000=πr^2h
1000/πr^2=h

Se sustituye la altura en la ecuación de área total
At=πr^2+2πr^2(1000/πr^2)
At=πr^2+2000/r
At=πr^2+2000r-1

Se deriva
DA/DY=2πr^2-2000r-2

Se iguala a cero
0=2πr^2-2000/r2
2000/r2=2πr^2
2000=2πr3
2000/2π=r3
H=1000/ π(6.82)2
R3=318.30
R3=√ 318.30
R=6.82cm

Se sustituyeel radio en la ecuación de área total
At=πr^2+2πrh
At=π(6.82)2 + 2 π(6.82) (6.84)
At = 146.12 + 293.10
At = 439.22

El área mínima del cilindro es de 439.22 cm2
3.- Ejercicio
Se Lanza Una Pelota Hacia Arriba Con Una Velocidad Inicial De 34.3 M.S Encontrar La Altura Máxima Que Alcanza Considerando Que La Altura Inicial Fue De 60 Metros Y El Efecto De La Gravedad De 9.81m/S2. Calcula ElTiempo Total En El Que La Pelota Chocara Con El Suelo.

Ecuación De Altura
Y= ho +voT – ½ g t2

Sustituye los valores
Y= 60 + 34.3 t + ½ g t2

Se deriva la ecuación
DY/ DT = D/DT 60 + D/DT 34.3t + D/DT ½ gt2
DY/DT = 34.3 – 2 (½) gt
DY/DT = 34.3- gt
DY/DT= 34.3 -9.8 t

Se iguala la derivada a 0
0= 34.3-9.81t

Se despeja la variable
0=34.3 -9.81t
9.81t=34.3
T= 34.3/9.81T= 3.49 s

Cuando el tiempo es igual a 3.5s la altura es máxima y la velocidad es mínima.
Para encontrar la altura máxima, sustituye el tiempo en la ecuación de la altura.
Y= 60 +34.3 t + ½ de g t2
Y = 60+ 34.3 (3.5s)- ½ (9.81) (3.5s)2
Y = 180.05 -60.025
Y = 120.25 m

Encontrar el tiempo 2 se sustituye altura máxima y velocidad inicial = 0 y altura final = 0
Y= ho + vot - ½ gt2
0=120.25 – ½ (9.81)t2
0= 120.25-4.9t2
4.9t2 = 120.25
T2 = 120.25/ 4.9
T= √120.25/ 4.9
T= √24.54
T= 4.95

Se encuentra el tiempo total
Ttotal = t1 + t2
Ttotal = 3.5 +4.95
tTotal = 8.95s

El Tiempo Total En Que Recorrerá La Pelota Todo Su Recorrido Es De 8.95 Segundos

 
4.- Ejercicio
En Una Empresa El Departamento De Ingeniería Financiera Ha Determinado Que El Costo...