Calculo Diferenciablidad
Maracaibo, Junio 2011
FUNCIONES DIFERENCIABLES DE VARIAS VARIABLES
DERIVADAS PARCIALES = ( , ), las derivadas parciales de f respecto de x y y , son las funciones
Si
f x y f y definidas como:
f x ( x, y ) lím
h0
f ( x h, y ) f ( x , y ) h f ( x , y h ) f ( x, y ) , siempre que el límite exista. h
f y ( x, y ) lím
h0
Esta definición significa que, dada z f ( x, y ) , para calcular f x se debe considerar a y como constante y derivar respecto de x . Del mismo modo para hallar f y se considera constante a x y se deriva con respecto de y .
NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS PARCIALES
Si z f ( x, y ) , sus primeras derivadasparciales f x y f y se denota por:
f x ( x, y ) f x f1
f z ( x, y ) z x D1 f ( x, y ) D x x x x
f y ( x, y ) f y f 2
f z ( x, y ) z y D2 f ( x, y ) D y y y y
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA Si el plano = = , = ( , ) es la curva intersección de la superficie ( , ) = lim
( → , ) ( ,
= ( , ) con
)
, resulta entonces que
,
representa lapendiente de la recta tangente a esta curva en el punto ( , recta tangente y la curva intersección están en el plano Si, el plano = = =
( →
,
( ,
)). La
. Ver figura 1 = ( , ) con
) , ) ( ,
= ( , ) es la curva intersección de la superficie ( , ) = lim
, resulta entonces que
, representa la )). La recta
pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto tangente y lacurva intersección están en el plano =
( ,
,
( ,
. Ver figura 2
Físicamente representa las tasas de cambio de z en las direcciones de x e y , es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j . z
z f ( x, y 0 )
●P Recta tangente
y
x
y y0
Figura 1
z
z f ( x0 , y)
Recta tangente ●P
y
x
Figura 2
x x0
Lo que concluye que los valores f x yf y en el punto P( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) dan las pendientes de la superficie en las direcciones de x y y .
GRADIENTE DE f : f ( x, y ) Si
f es una función de dos variables x y y , entonces el gradiente de f es una
función vectorial función f ( x, y ) definida como
f ( x, y ) f x x, y , f y x , y f f i j x y
Observemos la figura 3, como en la sección anterior seaC1 y C2 las curvas que se obtienen al cruzar los planos verticales = y = con la superficie S. Entonces
el punto P está en C1 y C2. En ellas las dos rectas tangentes T1 y T2 que se intersecan en el punto P . Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto P se define como el plano que contiene a las dos rectas tangentes T1 y T2 .(figura 3).
z
P y
=
=
x
Figura 3ECUACIÓN DEL PLANO EN Un plano ( , , en queda completamente determinado si se conocen un punto = ( , , ). Un punto se encuentra sobre el es ortogonal al vector
) por el que pasa un vector normal a él, digamos si el vector diferencia = ( − , − , − − ) −
= ( , , ) pertenecerá al plano plano. Es decir, si y solo si = ( , , ). Así pues el plano aquellos puntos ( , , ) de tales que: ( −
quedadeterminado como el lugar geométrico de , − , − ) =0 , + ) y tiene a = 0, donde ) . (A,B,C) = 0, o sea,
tales que ( − )+ ( −
) + C( −
(1) = ( , , ) como = − −
La ecuación del plano en R3 que pasa por ( , vector normal se puede escribir como si + +
= 0 es homogéneo y pasa por el origen. Al dividir la ecuación (1) por C y dejar que a= y b= , podemos escribirla de
la forma − = ( − ) +( − ) (2) = en la ecuación (2)
Si la ecuación (2) representa el plano tangente en T1. Al hacer se obtiene − ( , = ( − ) ( ,
y se reconoce a ésta como la ecuación de una recta con pendiente a. pero se sabe que la pendiente de T1 es ( − ) ) . Por lo tanto tenemos que a = = ). − ). =
De manera semejante, al hacer
en la ecuación (2), obtenemos = ( ,
que debe representar a la recta...
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