Calculo diferencial 1

Cálculo diferencial

Instituto Tecnológico de Ensenada Cálculo diferencial Unidad 1
Introducción La palabra Cálculo proviene del latín calculus, diminutivo del termino calx, que significa piedra. En las civilizaciones antiguas con frecuencia se usaban piedrecillas o guijarros para hacer cuentas. En consecuencia, la palabra cálculo podría designar cualquier método sistemático para contar ocomputar. Sin embargo, durante los últimos siglos la acepción de cálculo ha evolucionado en algunos idiomas hasta significar la rama de las matemáticas que se ocupa del manejo y las aplicaciones de las entidades matemáticas denominadas derivadas e integrales. De este modo el cálculo se ha dividido en dos ramas considerablemente amplias, pero relacionadas entre sí, llamadas Cálculo diferencial yCálculo integral. Los números reales Números reales Los números reales se clasifican en racionales e irracionales. Un número racional puede expresarse como un cociente a/b en donde a y b son enteros y b ≠ 0. Un número que no es racional es entonces irracional. Por ejemplo, 5/4, -6, 22/7, 1.32=132/100, raíz de 4=2, son números racionales, mientras que raíz de 2, raíz de 3/2 y π son irracionales. La suma,la diferencia y el producto de dos números reales son también números reales. El cociente de dos números reales será un numero real siempre que el divisor sea diferente de cero. El conjunto de los números reales se denotara por el símbolo R; los símbolos Q y H se usan para denotar el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales, respectivamente. En términos de launión de dos conjuntos, se tiene que R= Q U H. El hecho de que Q y H no tengan elementos en común se recime empleando la intersección de dos conjuntos Q ∩ H = Ø, en donde Ø es el conjunto vacío. Recta numérica El conjunto de los números reales puede ponerse en correspondencia de uno a uno (o biunívoca) con los puntos de una recta horizontal, llamada recta numérica o recta de números reales. Elnúmero a asociado al punto P en la recta numérica se denomina coordenada de P. El punto elegido para representar al 0 se llama origen. Como se muestra en la siguiente figura, los números positivos se sitúan a la derecha del origen y los números negativos a la izquierda del mismo. El número 0 no es positivo ni negativo. La punta de la fleja en la recta numérica indica el sentido positivo. Se adopta comoregla emplear expresiones “punto a” y “número a” alternativamente con “punto P de coordenada a”.

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M.C. Cristina Ramírez Fernández

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Desigualdades El conjunto R de los números reales es un conjunto ordenado. Un numero real a es menor que un número real b si la diferencia de b - a es positiva. Esto se representa como a < b. Por ejemplo, -2 < 5 puesto que 5 – (-2)= 7es un número positivo. En la recta numérica, a < b, significa que el número a esta a la izquierda del número b. Véase la figura siguiente. El enunciado “a es menor que b” equivale a decir “b es mayor que a” y se escribe b > a. De modo que un número a es positivo si a > 0, y es negativo si a < 0. Expresiones como a< b o b> a se denominan desigualdades.

a a 0, entonces ac < bc Si a < b y c < 0,entonces ac > bc Si a < b y b < c, entonces a < c (propiedad transitiva)

La propiedad (iii) indica que si se multiplica una desigualdad por un número negativo, entonces se invierte el sentido de la desigualdad. La expresión a ≤ b se lee “a es menor que o igual a b” y significa que a < b o a = b. Las anteriores cuatro propiedades dan lugar a otras cuatro al sustituir los símbolos < y > por ≤ y ≥,respectivamente. Si a ≥ 0, el número a es entonces no negativo. Ejemplo 1 Resolver la desigualdad 2x < 5x + 9 Solución Primero se aplica (i) y resulta 2x + (-5x) < 5x + 9 + (-5x) -3x < 9 (-1/3) (-3x) < (-1/3) (9) . : x > -3

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Cálculo diferencial Intervalos Si a < b, el conjunto de los números reales x, que son simultáneamente menores que b y mayores...