CALCULO DIFERENCIAL capitulo 1 funciones

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo I

Funciones

INTRODUCCIÓN
Uno de los conceptos de mayor importancia y trascendencia
en las matemáticas es el de función, que constituye una
herramienta fundamental e indispensable en el quehacer de
quienes, como el ingeniero, deben representar con modelos
diversos fenómenos de la naturaleza, con la finalidad deinterpretarlos, manejarlos, modificarlos y utilizarlos para el
mejoramiento de la calidad de la vida.
CONCEPTOS PRELIMINARES
Conjuntos numéricos
Conjunto de números naturales. Se denota con
y está
formado por todos los números que se utilizan para contar.
= {1
,2,3,4,5,…}
Como se observa, se trata de un conjunto no finito, es decir,
que contiene un número infinito de elementos.
Conjunto de númerosenteros. Se denota con
y está
formado por todos aquellos números que son el resultado de
la diferencia de dos números naturales. Como se observa,
⊂ .
= {p p = m − n ; m, n ∈ }
o, en forma explícita,

= {… , −4, −3, −2, −1 ,2,3,4,…}
,0,1

y está
Conjunto de número racionales. Se denota con
formado por todos los números que pueden ser expresados
como el cociente de dos enteros.
p
⎧⎫
= ⎨r r =
; p, q ∈ ; q ≠ 0 ⎬
q
⎩
⎭
ING, PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

Estos números tienen dos formas de expresarse, como
cociente y como decimal. Por ejemplo,
4
cociente:
;
decimal: 0.8
5
Además, en la forma de cociente su expresión no es única
sino que existe un número infinito de expresiones. Por
ejemplo,
2 4 8 16 32
= =
=
=
=
3 6 12 24 48
La expresión decimal de un númeroracional es siempre
periódica, esto es, que uno o un grupo de dígitos (marcados
con testa) se repiten indefinidamente a la derecha del punto
decimal. Considérense los siguientes ejemplos:
2
5
= 0.4 = 0.4000... = 0.40 ;
= 0.4545... = 0.45
5
11
−7 = −7.000... = −7.0
Los números enteros y los naturales son racionales, ya que
basta con dividirlos entre la unidad para expresarlos de la
p.
forma
q
Conjunto de números irracionales. Se denota con Ι y está
formado por los números que no pueden expresarse en
forma decimal periódica. Algunos ejemplos son:
2 = 1.414213562...
− 7 = −2.645751311...
π = 3.141592654...
e = 2.718281828...
Conjunto de número reales. Se denota con
y está
formado por los números racionales y por los irracionales. A
cada número real le correspondeun punto de la recta
numérica y viceversa, lo que se ilustra como:

−π

−2 −1.09

0

1

e

3.750
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

En el siguiente esquema se presenta la clasificación de los
números reales:
⎧
⎧
Naturales
⎧
⎪
⎪
⎪
cero
⎪Enteros ⎨
⎪Racionales
⎪
⎨
⎪Enteros negativos
Reales ⎨
⎩
⎪
⎪
⎪ Fracionarios
⎩
⎪
⎪ Irracionales
⎩
La recta
y = mx + b
y
m =tanα

α

y = mx + b

b

x

y

P ( x1, y1 )

y − y1 =

y 2 − y1
( x − x1 )
x2 − x1

x
Q ( x2 , y 2 )

Las cónicas
Circunferencia.

( x − h)

2

y

+ (y − k ) = r 2

k
O

2

r
C

h

x

Parábola. ( y − k ) = 4 p ( x − h)
2

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

4

y

V

k

F

x

h
p

( x − h)

2

= 4p ( y − k )

y

F

p

Elipse.( x − h)
a2

2

V
h

k

(y − k)
+
b2

x

2

=1

y

F1 k

F2

C

b

x

h
c

(y − k)
a2

2

( x − h)
+
b2

a

2

=1

y
F1

a

h
C

k

x

c

F2
y
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Hipérbola.

( x − h)
a2

2

−

(y − k)

=1

b2
y
a

V1

F1

5
2

c

C

k

V2

F2
x

h

(y − k)
a2

2

( x − h)
−
b22

=1
y

F1
V1
k

C

h V2

a

c

x

F2

Variables
En matemáticas las magnitudes constantes y variables son de
suma importancia y generalmente se habla de ellas
independientemente de su significado físico.
Intervalos de variación

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

6

Considérese el eje numérico de las abscisas, con " x " como
magnitud variable, y a dos valores de "...