Calculo diferencial_concepto

Asignatura
matematicas
Datos del alumno
Belmira
Matemáticas para la
economía

Apellidos:
Nombre:

Fecha

GONZALEZ BRIZUELA
BELMIRA

24/11/2014

Actividades
Trabajo: Diferencial de una función de una variable: concepto, significado,
interpretación gráfica y reglas operativas
En este trabajo presentaremos el significado de diferencial de una función de una
variablediferenciándolo específicamente del de derivada de una función.
También desarrollaremos la interpretación geométrica de la diferencial en un punto y
enumeraremos

las principales reglas operativas del cálculo diferencial: suma,

producto, cociente, potencia y exponencial de funciones reales de una variable y con un
ejemplo práctico para cada una de ellas.
CONCEPTO DIFERENCIAL
La derivada de unafunción y en un punto x0 es lo que varía esa función por cada
unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0 . Por ejemplo, que la derivada
de una función en un punto es 2, significa que puede esperarse que en los entornos
más pequeños de ese punto el incremento de y sea aproximadamente el doble que el
incremento de x: Δy = 2Δx .
Por tanto, diferencial de una función y en un punto es lafunción

dy = yʹ′dx , donde y′

es la derivada de la función y en ese punto. Las expresiones

dy y dx se llaman,

respectivamente, diferencial de y y diferencial de x. dx es la variable independiente y
dy la variable dependiente de la función diferencial.
Desde luego que esas variables pueden designarse con otras letras, por ejemplo se
puede escribir w = y v′ ; pero la notación

dy = y´dxes conveniente, pues informa de

que se trata de una diferencial, es decir, que es la aproximación de una parte de una
función por esa función lineal en los entornos más pequeños del punto en el que se
halla la derivada; y que, si se representa en un sistema con sus ejes paralelos a los
del sistema en que está representada la función y, con origen de coordenadas en el
punto en el que se hallala derivada y′ , resulta una recta tangente a la gráfica de y en
el punto [ x0 , y0 = f (x0) ] en el que se halla y′ .
CONCEPTO DERIVADA
La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor
se designa por dy dx .

TEMA 1 – Actividades

Asignatura
Matemáticas para la
economía

Datos del alumno

Apellidos:
Nombre:

GONZALEZ BRIZUELA
BELMIRAFecha

24/11/2014

Así que, mientras la derivada de una función en un punto es un valor exacto si
existe, la diferencial en un punto es una función lineal de aproximación. Por
tanto, las funciones diferenciales de todas las funciones que tengan la misma derivada
en un punto son iguales. O, de otra manera: todas las funciones cuyas derivadas en
un punto son iguales tienen la misma diferencialen ese punto, se aproximan por la
misma función diferencial en los entornos más pequeños de ese punto.
La diferencial permite estimar con facilidad y rapidez las variaciones de la función en
esos entornos mas pequeños de un punto.
Por ejemplo, la derivada de la función y = x^2 es y′ = 2x .
Por tanto, la derivada en x0 = 0.5 es y′( 0.5) = 1. Significa que, en entornos pequeños
de 0.5, y seincrementa aproximadamente 1 por cada unidad que se incremente x. Eso
es lo que significa también que la diferencial es dy = 1dx .
INTERPRETACION GEOMETRICA
Sea una función y= f(x)
Se define como la diferencial de la variable independiente a: dx = ∆x
Se define como la diferencial de la variable dependiente a: dy = f '(x)⋅ dx
Esto significa que la diferencial de la variable x es por definiciónigual al incremento
que experimenta, sin embargo, la diferencial de la variable y no es igual su
incremento:
dx = ∆x
dy ≠ ∆y
Dado un punto P de abscisa x , si se le dota de un incremento ∆x , se tendrá otro
punto Q de abscisa x +∆x . Ahora, si se traza la tangente a la curva en el punto P(x, y),
y desde x +∆x se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a
la...