Calculo Diferencial Introduccion

PRODUCTO CARTESIANO EN R×R

En la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente para determinar su comportamiento, por tanto es necesario estudiar en dos o más variables: cantidad de producción y costo asociado, cantidad comprada y precio; mano de obra y capital; Impuesto y Valor de la Mercancía; Horas trabajadas y salario; etc. Es necesario estudiar los elementos delas matemáticas para representar el comportamiento de los agentes económicos

Pareja Ordenada

Conjunto de números de la forma (a, b) con a, b ∈ R; donde a se denomina primera componente y b segunda componente. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

Producto Cartesiano.

Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados deprimera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:
A×B={(x,y)/x∈A Λ x∈B}
En consecuencia:
x,y∈A×B↔x∈A Λ y∈B
x,y∈A×B↔x∈A ∨y∈B

La representación geométrica de R× Res el plano cartesiano llamado también plano numérico.
b
a
P(a,b)

Se establece una relación biunívoca entre R× Ry el conjunto de los puntos delplano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (a, b) con el punto P(a,b).

Ejemplo 1:
Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:
A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.
Gráficamente
1
1
2
2
3
4
5

INTERVALOS
Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.
Finitos
* Abierto

Subconjunto de todoslos números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b, simbólicamente(a , b) = {x ϵ R/ a < x <b}
Gráficamente
∞
-∞
a
b

* Cerrado
Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente[a , b] = {x ϵ R/ a ≤ x ≤ b}

Gráficamente
∞
-∞
a
b

* Semi-abierto osemi-cerrado

(a , b] = {x ϵ R/ a < x ≤ b} | ∞
-∞
a
b
|
[a , b)= {x ϵ R/ a ≤ x < b} | ∞
-∞
a
b
|

* Intervalos Infinitos:
(a,∞) = {x ϵ R/ x > a} | ∞
-∞
a
|
[a,∞) = {x ϵ R/ x ≥ a} | ∞
-∞
a
|
(-∞, a) = {x ϵ R/ x < a} | ∞
-∞
a
|
(-∞, a] = {x ϵ R/ x ≤ a} | ∞
-∞
a
|

Ejercicios 1
1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades:

(x + y, 1/2) = (1, x - y)

(x+ 2, y) = (3y, 2x)

2. Sean A={x∈N/ 1≤x<4} y B={x∈N/ 1≤x<3}
a. Calcular A×B
b. Representar gráficamente A×B

3. *Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A.

4. *Escriba la desigualdadcorrespondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica
(1,3) | (0,3] | [-1,∞) | (-∞,2) |
[-0.5, 4.5) | (-23,5] | [-34,72) | (25,∞) |

5. Sean A=(-3,7], B=[-1,10] y C=[-2,∞) calcular y representar gráficamente
a. A ∩ B
b. B - A
c. Cc
d. A ∩Bc
e. (A - B)c - C
6. *Para cada afirmación escriba dos intervalos que verifiquen:
a. Su unión es (-8,2]
b. Suintersección es [1,-3)
c. Su diferencia es (-∞, 3)
d. Su intersección sea vacía y su unión sean todos los reales

Desigualdades

Proposiciones tales como a<b, a>b,a≥b o a≤b, se llaman desigualdades. En particular, a>b y a<b son desigualdades estrictas. La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad esuna proposición verdadera.

Propiedades.

* Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera.
* El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo.

Desigualdades lineales...