calculo diferencial resumen parte 1

1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES

1.1 Una mirada previa al calculo
¿Qué es cálculo?
El cálculo es la matemática de los cambios (velocidades y aceleraciones). También son objeto del cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y una gran variedad de conceptos que han permitido a científicos, ingenieros y economistas elaborar modelos parasituaciones de la vida real.
Aunque las matemáticas previas al cálculo también tratan con velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes y demás, existe una diferencia fundamental entre ellas y el cálculo. Mientras que las primeras son más estáticas, el cálculo es más dinámico. He aquí unos ejemplos:
Las matemáticas previas al cálculo permiten analizar un objeto que se mueve convelocidad constante. Sin embargo, para analizar la velocidad de un objeto sometido a aceleración es necesario recurrir al cálculo.

Las matemáticas previas al cálculo permiten analizar la pendiente de una recta, pero para analizar la pendiente de una curva es necesario el cálculo.

Las matemáticas previas al cálculo permiten analizar una recta tangente a un círculo, pero para analizar una tangente auna grafica en general es necesario el cálculo.

Las matemáticas previas al cálculo permiten analizar el área de un rectángulo, pero para analizar el área bajo una curva es necesario el cálculo.

Cada una de estas situaciones implica la misma estrategia general: la reformulación de las matemáticas previas al cálculo a través de un proceso de límite. De tal modo, una manera de responderá a lapregunta “¿qué es calculo?” consiste en decir que calculo es una “maquina de límites” que funciona en tres etapas.


El problema de la recta tangente
La noción de límite es fundamental en el estudio del cálculo. A continuación se dan breves descripciones de dos problemas clásicos del cálculo – el problema de la recta tangente y el problema del área – que muestran la forma en que intervienenlos limites en el cálculo.
En el problema de la recta tangente, se tiene una función de y un punto P de su grafica y se trata de encontrar la ecuación de la tangente a la grafica del punto P.
Exceptuando los casos en que la recta tangente es vertical, el problema de encontrar la recta tangente en el punto P equivale al de determinar la pendiente de la recta tangente en P.
Se puede calcularaproximadamente está pendiente trazando una recta por el punto de tangencia y por otro punto la curva. Tal recta se llama recta secante.
Q(c + ∆x,(c + ∆x)
A medida que el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la curva secante se aproxima a la de la recta tangente, como se muestra en la figura. Cuando existe tal “posición limite”, se dice que la pendiente de la recta tangente es el límitede la pendiente de la recta secante (este importante será estudiado con más detalle en el capítulo 2).
El problema del área
En el problema de la recta tangente, se vio como aplicar el límite de la pendiente de una recta para determinar la pendiente de una curva general.
Otro problema clásico del cálculo, que también se puede resolver con un proceso de límite, consiste en determinar el área deuna zona plana delimitada por graficas de funciones. En este caso, el proceso de límite se aplica al área de un rectángulo con el fin de encontrar el área de la región en general.
El objetivo radica en determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando su número crece sin fin.
1.2 Calculo de límites por medio de los métodos grafico y numérico

Estimar un cálculo de límitesutilizando el método numérico o el grafico.
Aprender diferentes formas de límites que no existen.
Estudiar y usar la definición formal del límite.

Introducción de los límites
Suponer que se pide dibujar la grafica de la función ƒ dada por

Para todos los valores distintos de x = 1, es posible emplear las técnicas usuales de representación de curvas. Sin embargo, en x = 1, no está claro...