Calculo Diferencial Taller

1. Halle los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones.
A)
un=n(n-1)3n≥0

u0=0(0-1)3

u0=-1)3

u1=1(1-1)3

u1=0)3 ind.

u2=2(2-1)3

u2=2)3

u3=3(3-1)3

u3=2

u4=4(4-1)3

u4=4

B)

un=2n-12nn≥0

u0=2(0)-12(0)

u0=0-10

u0= -1

u1=2(1)-12(1)

u1=12

u2=2(2)-12(2)

u2=34

u3=2(3)-12(3)

u3=56

u4=2(4)-12(4)

u3=78

C)

un=n2-n+4n2+ 1n≥0u0=02-0+402+ 1

u0=4

u1=12-1+412+ 1

u1=42

u1=2

u2=22-2+422+ 1

u2=4-2+44+1

u2=65

u3=32-3+432+ 1

u3=9-3+49+1

u3=1010

u3=1

u4=42-4+442+ 1

u4=16-4+416+1

u4=1617

D)

un= 2- 13nn≥0

u0= 2- 130

u0= 2- 11

u0=1

u1= 2- 131

u1= 2- 13

u1=2- 13 =6-13

u1=53

u2= 2- 132

u2=2- 19 =18-19

u2=179

u3= 2- 133

u3=2- 127 =54-127

u3=5327u4= 2- 134

u4=2- 181 =162-181

u4=16281

2. Halle el término n-ésimo de las siguientes sucesiones.
i. {1/2, 2/3, 3/4, 4/5…}
un= 1+n2+nn≥0
u0= 1+02+0
u0=12
u1= 1+12+1
u1=23
u2= 1+22+2
u2=34
u3= 1+32+3
u3=45
u4= 1+42+4
u4=56
u5= 1+52+5
u5=67
.
.
.
un= 1+n2+n

ii. {1, 8, 27, 64…}

iii. {2, 3, 4, 5, 6, 7…}
u0=2+ 0
u0=2
u1=2+ 1
u1=3
u2=2+ 2
u2=4
u3=2+ 3u3=5
u4=2+ 4
u4=6
u5=2+ 5
u5=7
u6=2+ 6
u6=8
.
.
.
un=2+ n

iv. {1/3, 2/9, 4/27, 8/81…}
u0=2030 x 3
u0=13
u1=2131 x 3
u1=29
u2=2232 x 3
u2=427
u3=2333 x 3
u3=881
u4=2434 x 3
u4=16243
.
.
.
un=2n3n x 3

3. Halle los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones y determina si son acotadas, en tal caso identifique la mínima cota superior y la máxima cota inferior.
A)un= 3n-2n+1n≥1
u1= 3(1)-21+1
u1=12
u2= 3(2)-22+1
u2=43
u3= 3(3)-23+1
u3=74
u4= 3(4)-24+1
u4=105
u4=2
u5= 3(5)-25+1
u5=136
.
.
.
u1000= 3(1000)-21000+1
u1000=2,995
.
.
.
u10000= 3(10000)-210000+1
u10000=2,9995
N → ∞ , un → 3
Acotada superior
12 mínima cota superior
12 ≤ para cada cota superior de un
B)
un= 12 n2 -23 n+10 n≥0
u0= 12 -0 +10
u0= 112u1= 12 (1)2 -23 (1)+10
u1= 12 -23 +10
u1= 596
u2= 12 (2)2 -23 (2)+10
u2= 2-43 +10
u2= 323
u3= 12 (3)2 -23 (3)+10
u3= 92-2 +10
u3= 252
u4= 12 (4)2 -23 (4)+10
u4= 8-83 +10
u4= 463
.
.
.

u∞= 12 (∞)2 -23 (∞)+10
u∞=∞
n→∞un, → ∞
acotada superior
112 mínima cota superior
112 ≤ para cada cota superior de un
C)
un= 2-13n n≥0
u0=2-130
u0= 2-11
u0= 1
u1= 2-131
u1= 2-13
u1= 53
u2= 2-132
u2= 2-19
u2= 179
u3= 2-133
u3= 2-127
u3= 5327
u4= 2-134
u4= 2-181
u4= 16181
u∞= 2-13∞
u∞=2
n→∞, un→2
acotada superior
1 mínima cota superior
1≤ para cada cota superior de un
4. Demuestre que la sucesión un= 2n3 +n+2 n≥0 es creciente y monótona.
un= 2n3+n+2 n≥0
u0= 2(0)3 +0+2
u0=2
u1= 2(1)3 +1+2
u1=2+1+2
u1=5
u2= 2(2)3 +2+2
u2=16+2+2
u2=20
u3= 2(3)3 +3+2
u3=54+3+2
u3=59
Es creciente
un+1>un
u1>u0
u2>u1
Es monótona por ser creciente.
5. Demuestre que la sucesión un= 1n n≥0 es estrictamente decreciente y monótona.
un= 1n n≥0
u1= 11
u1=1
u2= 12
u2=0,5
u3= 13
u3=0,33
u4= 14u4=0,25
.
.
.
u∞= 1∞
u∞=0
Es decreciente
un+1<un
u2<u1
u3<u2
Es monótona por ser decreciente.
6. Sea la sucesiónun= 4n3n+2 n≥0 demuestre que es convergente a 4/3.
un= 4n3n+2 n≥0 4/3 = 1,333
u0= 4(0)3(0)+2
u0= 02
u0=0
u1= 4(1)3(1)+2
u1= 45
u2= 4(2)3(2)+2
u2= 88
u2=1
u3= 4(3)3(3)+2
u3= 1211
u4=4(4)3(4)+2
u4= 1614
u6= 4(6)3(6)+2
u6= 2420
u10= 4(10)3(10)+2
u10= 4032
u100= 4(100)3(100)+2
u100= 400302
u1000= 4(1000)3(1000)+2
u1000= 40003002
u∞= 4(∞)3(∞)+2
u∞=1,333
un converge a 1,333 (4/3)
7. Sea la progresión aritmética un= n+2 n≥1 hallar:
A) Los primeros seis términos de la progresión.
1. u1=1+2
u1=3
2. u2=2+2
u2=4
3....