Calculo Diferencial Unidad 3

UNIDAD III: LÍMITES Y CONTINUIDAD.
3.1- Limites de una sucesión.
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En casocontrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).
Qué se entiende por próximo da lugar adistintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.

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Límite de una sucesión de números reales
Definición formal
El termino general de una sucesión tiene límite , cuando tiende a , si para todo valor por pequeño que sea, existe un valor a partir del cual si tenemos que la distancia de a es menor que , es decir:
.
Notación
o bien
otambién

o simplemente

Ejemplos
* La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
* La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
* La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
* Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n poseelímite 1.
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Límite de una sucesión compleja
Se dice que la sucesión converge hacia un complejo si y solo si

Nótese que es la misma definición que para , con modulo en lugar del valor absoluto.
Se puede escribir
o más simplemente, si no hay ambigüedad
Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relaciónde orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene modulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, es también completo).
Tipos de convergencia
Convergencia puntual
El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular.
Una sucesión de funciones definidas en un conjunto no vacíocon valores en un espacio métrico converge puntualmente a una función si

para cada fijo. Esto significa que
(5)
La sucesión de funciones con converge puntualmente a la función puesto que

para cada fijo.
Convergencia uniforme
Una sucesión de funciones definidas en un conjunto no vacío con valores en un espacio métrico converge uniformemente a una función si para todo existe un entero (quedepende de ) tal que

para todo y todo . Es decir,
(6)
El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5), puede depender de y de mientras que en (6), sólo puede depender de . Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión defunciones definidas por . Esta sucesión converge puntualmente a la función

ya que

mientras que Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para no existe un que satisfaga (6).
De especial interés es el espacio de las funciones continuas definidas sobre un compacto En este caso, una sucesión de funciones converge uniformemente a una función si, y sólo si, converge en la norma delsup, i.e.,


3.2- Limites de una función de variable real.
Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.
Considérese la ...